Se f(x)=x+1x-1, determine Dom(f) e calcule:
b) (f circ f circ f)((x+1)^2)
Determine em cada caso as condições para as compostas.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=x+1x-1
e pede para calcular
(fcirc fcirc f)l((x+1)^2r)
determinando, a cada composta, as condições de existência. Vamos usar teoria de composição de funções e simplificar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, a condição básica para f estar bem definida é não zerar o denominador:
x-1neq0Longrightarrow xneq1
Logo
Dom(f)=xin Rmid xneq1

Passo 3

Calculemos f(f(x)). Seja y=f(x). Então
f(f(x))=f(y)=y+1y-1 =x+1x-1+1x+1x-1-1 =x+1 + (x-1)x-1x+1 - (x-1)x-1 =2xx-12x-1 =x
As condições foram xneq1 (para f(x) existir) e yneq1 (para f(y) existir), mas tfracx+1x-1=1 não ocorre quando xneq1. Logo basta xneq1.

Passo 4

Daí segue que, para todo tneq1,
fl(fl(f(t)r)r) =fl(f(f(t))r) =f(t),
pois f(f(t))=t.

Passo 5

Agora tome t=(x+1)^2. Então
(fcirc fcirc f)l((x+1)^2r) =fl((x+1)^2r) =(x+1)^2+1(x+1)^2-1 =x^2+2x+2x^2+2x =x^2+2x+2x(x+2)

Passo 6

Faltam as condições para cada etapa:
  1. Para fl((x+1)^2r) existir é preciso (x+1)^2neq1, ou seja x+1neqpm1Longrightarrow xneq0,;xneq-2
  2. Em seguida fl(f((x+1)^2)r) já existe sem restrição extra (vimos que f(cdot)neq1 automaticamente).
  3. Finalmente fl(f(f((x+1)^2))r)=f((x+1)^2) não acarreta novas condições.
Portanto a única restrição final é
xneq0, xneq-2

Resposta

(fcirc fcirc f)l((x+1)^2r) =x^2+2x+2x(x+2), xneq0,;xneq-2

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