Utilizando o primeiro limite fundamental, determine:
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{\operatorname{sen}(2 x)}$

Passo 1

Temos o limite limxto01-cos xsen(2x). O conteúdo é limites trigonométricos, e vamos precisar da identidade trigonométrica para 1-cos x e sen(2x), além do primeiro limite fundamental limuto0senuu=1.

Passo 2

Usando as identidades
1-cos x = 2sen^2l(tfrac x2r)
e
sen(2x)=2senxcos x
substituímos na fração e obtemos
1-cos xsen(2x) = 2sen^2(tfrac x2)2senxcos x = sen^2(tfrac x2)senxcos x

Passo 3

Para simplificar ainda mais, usamos senx=2sen(tfrac x2)cos(tfrac x2). Assim,
sen^2(tfrac x2)senxcos x = sen^2(tfrac x2)2sen(tfrac x2)cos(tfrac x2)cos x = sen(tfrac x2)2cos(tfrac x2)cos x

Passo 4

Reescrevemos a expressão para aplicar o primeiro limite fundamental:
Quando sen(tfrac x2)2cos(tfrac x2)cos x = sen(tfrac x2)tfrac x2ncdot tfrac x22cos(tfrac x2)cos x , temos xto0, sen(x/2)x/2to1 e cos(x/2)to1. O segundo fator tende a zero pois é cos xto1. Portanto, o limite total é zero.

Passo 5

Conclusão: o limite pedido é zero.

Resposta

0

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