(2 pontos) Represente o domínio da integral dupla no plano. Qual a ordem de integração (Tipo I ou Tipo II) mais fácil para resolver a integral? Justifique. Escreva a integral usando a ordem de integração escolhida. Não resolva a integral.
\iint_{D} x \cos (y) d A, \text { onde } D \text { é a região delimitada por } y=0, y=x^{2}, \text { e } x=1 .éã

Passo 1

O enunciado pede:
  • Representar geometricamente o domínio D da integral dupla no plano.
  • Indicar qual ordem de integração (Tipo I ou Tipo II) é mais fácil para calcular a integral e justificar essa escolha.
  • Escrever a integral dupla usando a ordem de integração escolhida.
    O enunciado nos dá:
  • A função a integrar é x\cos(y).
  • A região D é delimitada por y=0, y=x^{2} e x=1.

Passo 2

Identificar interseções e visualizar a região.
  • Interseção de y=0 com y=x^{2}: resolver \;x^{2}=0\;\Rightarrow\;x=0. Ponto (0,0).
  • Interseção de y=0 com x=1: ponto (1,0).
  • Interseção de y=x^{2} com x=1: substituir x=1 em y=x^{2} y=1. Ponto (1,1).
    Geometricamente, D é a região limitada abaixo por y=0, à direita pela reta x=1 e acima pela parábola y=x^{2}. Os vértices são (0,0), (1,0) e (1,1). A região está no primeiro quadrante.

Passo 3

Descrever D como região simples do Tipo I (fatias verticais).
  • Para cada x fixo entre 0 e 1, o valor de y varia entre a curva inferior y=0 e a curva superior y=x^{2}.
  • Assim, a descrição Tipo I é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le x^{2}\}.

Passo 4

Descrever D como região simples do Tipo II (fatias horizontais).
  • Isolar x em função de y na curva y=x^{2} x=\pm\sqrt{y}. Na região dada x\ge 0, portanto usamos x=\sqrt{y}.
  • Para cada y fixo entre 0 e 1, x varia da curva esquerda x=\sqrt{y} até a reta direita x=1.
  • Assim, a descrição Tipo II é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\;\sqrt{y}\le x\le 1\}.

Passo 5

Comparar as duas ordens de integração considerando o integrando x\cos(y).
  • Se escolhermos Tipo I (integrar primeiro em y): a integral interna em y trata x como constante:
\int_{y=0}^{y=x^{2}} x\cos(y)\,dy = x\bigl[\sin(y)\bigr]_{0}^{x^{2}} = x\sin(x^{2}).
A integral externa torna-se \int_{0}^{1} x\sin(x^{2})\,dx, que é imediatamente tratável por substituição u=x^{2} (ficaria algo como \tfrac{1}{2}\int \sin(u)\,du).
  • Se escolhermos Tipo II (integrar primeiro em x): a integral interna em x
\int_{x=\sqrt{y}}^{1} x\cos(y)\,dx = \cos(y)\,\bigl[\tfrac{1}{2}x^{2}\bigr]_{\sqrt{y}}^{1} = \tfrac{1}{2}\bigl(1-y\bigr)\cos(y),
e a integral externa seria \int_{0}^{1} \tfrac{1}{2}(1-y)\cos(y)\,dy, também tratável, mas um pouco menos direta que a alternativa anterior.
Conclusão: a ordem Tipo I (integrar em y primeiro, depois em x) é a mais conveniente aqui porque a integral interna fornece x\sin(y) e, ao avaliar entre 0 e x^{2}, resulta em uma função de x que se integra facilmente por substituição.

Passo 6

Escrever a integral dupla usando a ordem de integração escolhida (Tipo I: dy primeiro, depois dx).
\iint_{D} x\cos(y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{x^{2}} x\cos(y)\,dy\right)dx.

Resposta

D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le x^{2}\}
Tipo I (integrar primeiro em y, depois em x)
\iint_{D} x\cos(y)\,dA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}} x\cos(y)\,dy\,dx.

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