(2 pontos) Represente o domínio da integral dupla no plano. Qual a ordem de integração (Tipo I ou Tipo II) mais fácil para resolver a integral? Justifique. Escreva a integral usando a ordem de integração escolhida. Não resolva a integral.
Passo 1
O enunciado pede:
- Representar geometricamente o domínio
da integral dupla no plano. - Indicar qual ordem de integração (Tipo I ou Tipo II) é mais fácil para calcular a integral e justificar essa escolha.
- Escrever a integral dupla usando a ordem de integração escolhida.
O enunciado nos dá: - A função a integrar é
. - A região
é delimitada por , e .
Passo 2
Identificar interseções e visualizar a região.
- Interseção de
com : resolver . Ponto . - Interseção de
com : ponto . - Interseção de
com : substituir em dá . Ponto .
Geometricamente,é a região limitada abaixo por , à direita pela reta e acima pela parábola . Os vértices são , e . A região está no primeiro quadrante.
Passo 3
Descrever
como região simples do Tipo I (fatias verticais).
- Para cada
fixo entre e , o valor de varia entre a curva inferior e a curva superior . - Assim, a descrição Tipo I é
Passo 4
Descrever
como região simples do Tipo II (fatias horizontais).
- Isolar
em função de na curva dá . Na região dada , portanto usamos . - Para cada
fixo entre e , varia da curva esquerda até a reta direita . - Assim, a descrição Tipo II é
Passo 5
Comparar as duas ordens de integração considerando o integrando
.
- Se escolhermos Tipo I (integrar primeiro em
): a integral interna em trata como constante:
A integral externa torna-se
, que é imediatamente tratável por substituição
(ficaria algo como
).
- Se escolhermos Tipo II (integrar primeiro em
): a integral interna em dá
e a integral externa seria
, também tratável, mas um pouco menos direta que a alternativa anterior.
Conclusão: a ordem Tipo I (integrar em primeiro, depois em
) é a mais conveniente aqui porque a integral interna fornece
e, ao avaliar entre
e
, resulta em uma função de
que se integra facilmente por substituição.
Conclusão: a ordem Tipo I (integrar em
Passo 6
Escrever a integral dupla usando a ordem de integração escolhida (Tipo I:
primeiro, depois
).
Resposta
Tipo I (integrar primeiro em
, depois em
)