Determine o campo gradiente de
.
Passo 1
O enunciado pede o campo gradiente de φ(x,y)= (x² + eˣy)³, ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais de φ em relação a x e a y usando conceito de gradiente e regra da cadeia.
Passo 2
Definimos u(x,y)= x² + eˣy para aplicar a regra da cadeia. Para ∂φ/∂x temos ∂φ/∂x = 3u² · ∂u/∂x. Como ∂u/∂x = 2x + eˣy, obtemos
.
Passo 3
Para ∂φ/∂y aplicamos similarmente ∂φ/∂y = 3u² · ∂u/∂y. Como ∂u/∂y = eˣ, concluímos
.
Passo 4
Reunindo as derivadas parciais, o campo gradiente é formado pelos componentes (∂φ/∂x, ∂φ/∂y).