Determine o campo gradiente de
phi(x, y)=(x^2+e^x y)^3.

Passo 1

O enunciado pede o campo gradiente de φ(x,y)= (x² + eˣy)³, ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais de φ em relação a x e a y usando conceito de gradiente e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos u(x,y)= x² + eˣy para aplicar a regra da cadeia. Para ∂φ/∂x temos ∂φ/∂x = 3u² · ∂u/∂x. Como ∂u/∂x = 2x + eˣy, obtemos partial phipartial x = 3(x^2 + e^x y)^2l(2x + e^x yr).

Passo 3

Para ∂φ/∂y aplicamos similarmente ∂φ/∂y = 3u² · ∂u/∂y. Como ∂u/∂y = eˣ, concluímos partial phipartial y = 3(x^2 + e^x y)^2 e^x.

Passo 4

Reunindo as derivadas parciais, o campo gradiente é formado pelos componentes (∂φ/∂x, ∂φ/∂y).

Resposta

nabla phi(x,y) = l(3(x^2 + e^x y)^2 (2x + e^x y),;3(x^2 + e^x y)^2 e^xr)

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