Determine o campo gradiente de
g(x, y)=e^y sin x.

Passo 1

O enunciado define a função escalar g(x,y)=e^{y}\sin x e pede o campo gradiente, que é o vetor formado pelas derivadas parciais de g em relação a x e a y. O conteúdo envolve derivadas parciais e a regra do produto/ cadeia para funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Para calcular partial gpartial x, tratamos y como constante e derivamos em x. Como g(x,y)=e^{y}\sin x, a derivada de sin x é cos x e e^y fica como constante. Logo,

Passo 3

Passo 4

\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=e^{y}\cos x

Passo 5

]

Passo 6

Para calcular partial gpartial y, tratamos x como constante e derivamos em y. Aqui sin x é constante e a derivada de e^y é e^y. Assim,

Passo 7

Passo 8

\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=e^{y}\sin x

Passo 9

]

Passo 10

Reunindo as duas componentes, o gradiente de g é o vetor cujas entradas são as derivadas parciais que encontramos.

Resposta

∇g(x,y)=\bigl(e^{y}\cos x,;e^{y}\sin x\bigr)

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