Determine o campo gradiente de
.
Passo 1
O enunciado define a função escalar g(x,y)=e^{y}\sin x e pede o campo gradiente, que é o vetor formado pelas derivadas parciais de g em relação a x e a y. O conteúdo envolve derivadas parciais e a regra do produto/ cadeia para funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Para calcular
, tratamos y como constante e derivamos em x. Como g(x,y)=e^{y}\sin x, a derivada de
é
e
fica como constante. Logo,
Passo 3
Passo 4
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=e^{y}\cos x
Passo 5
]
Passo 6
Para calcular
, tratamos x como constante e derivamos em y. Aqui
é constante e a derivada de
é
. Assim,
Passo 7
Passo 8
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=e^{y}\sin x
Passo 9
]
Passo 10
Reunindo as duas componentes, o gradiente de g é o vetor cujas entradas são as derivadas parciais que encontramos.
Resposta
∇g(x,y)=\bigl(e^{y}\cos x,;e^{y}\sin x\bigr)