Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos vetoriais.
F(x, y, z)=x^2 y^2 i+cos (x z^2) j+z k=(x^2 y^2, cos (x z^2), z).

Passo 1

Aqui a gente tem o campo vetorial F(x,y,z) = (x^2y^2,,cos(xz^2),,z) e precisa achar a divergência e o rotacional. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais em campos vetoriais.

Passo 2

A divergência de um campo F=(F1,F2,F3) é dada por
nablacdotF = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z
Aqui temos:
  • F1 = x^2y^2 então partial F1/partial x = 2xy^2.
  • F2 = cos(xz^2) então partial F2/partial y = 0 (não depende de y).
  • F3 = z então partial F3/partial z = 1.
    Somando, vem
nablacdotF = 2xy^2 + 0 + 1 = 2xy^2 + 1

Passo 3

O rotacional de F=(F1,F2,F3) é
nablatimesF = l(partial F3partial y-partial F2partial z,;partial F1partial z-partial F3partial x,;partial F2partial x-partial F1partial yr)
Vamos calcular cada termo:
  • partial F3/partial y = 0 e partial F2/partial z = -sin(xz^2)cdot 2xz = -2xzsin(xz^2), logo a componente x é 0 - (-2xzsin(xz^2)) = 2xzsin(xz^2).
  • partial F1/partial z = 0 e partial F3/partial x = 0, logo a componente y é 0 - 0 = 0.
  • partial F2/partial x = -sin(xz^2)cdot z^2 = -z^2sin(xz^2) e partial F1/partial y = 2x^2y, logo a componente z é -z^2sin(xz^2) - 2x^2y.
    Reunindo,

Passo 4

ficamos com o rotacional
nablatimesF = l(2xzsin(xz^2),;0,;-z^2sin(xz^2) - 2x^2yr)

Resposta

Divergência: 2xy^2 + 1. Rotacional: (2xzsin(xz^2),;0,;-z^2sin(xz^2) - 2x^2y).

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