Determine o campo gradiente de
f(x, y)=x^2 y^2+cos x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o campo gradiente da função f(x,y)=x²y²+cos x. Isso envolve o conteúdo de derivadas parciais, pois o gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f.

Passo 2

Para calcular a derivada parcial em relação a x, lembre que y é tratado como constante. Aplique a regra do poder em x²y² e a derivada de cos x:
partialpartial x(x^2y^2)=2x,y^2, partialpartial x(cos x)=-sin x
Logo,
partial fpartial x=2x,y^2-sin x

Passo 3

Para calcular a derivada parcial em relação a y, trate x como constante. Aplique a regra do poder em x²y² e note que cos x não depende de y:
partialpartial y(x^2y^2)=x^2cdot2y=2x^2y, partialpartial y(cos x)=0
Logo,
partial fpartial y=2x^2y

Passo 4

Agora é só agrupar as duas derivadas parciais para montar o gradiente. O campo gradiente ∇f é o vetor: ∇f(x,y)=(∂f/∂x,∂f/∂y).

Resposta

nabla f(x,y)=(2x,y^2-sin x,;2x^2y)

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