Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
\vec{F}(x, y)=\ln (x+2 y) \vec{i}+(\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} y) \vec{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores em \mathbb{R}^2
\vec F(x,y) = \ln(x+2y)\,\vec i +\bigl(\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} y\bigr)\,\vec j
e pede (i) a divergência \nabla\cdot\vec F e (ii) o rotacional \nabla\times\vec F. Nós usamos as definições de cálculo vetorial em coordenadas cartesianas:
  • \displaystyle \nabla\cdot\vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y}.
  • Para um campo plano \vec F=(F_x,F_y,0) embutido em \mathbb{R}^3,
    \displaystyle \nabla\times\vec F = \bigl(0,0,\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\bigr).

Passo 2

Calcular a divergência
  1. F_x(x,y)=\ln(x+2y)\implies \displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{1}{x+2y}.
  2. F_y(x,y)=\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} y\implies \displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial y} = \cos y.
    Portanto, isoladamente,
\frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{1}{x+2y}
\frac{\partial F_y}{\partial y} = \cos y
e somando-os obtemos
\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{x+2y} + \cos y

Passo 3

Calcular o rotacional
  1. \displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} y) = \cos x.
  2. \displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\ln(x+2y) = \frac{2}{x+2y}.
    Logo, o único componente não nulo de \nabla\times\vec F é
(\nabla\times\vec F)_z = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = \cos x - \frac{2}{x+2y}
e os componentes x e y são nulos.

Resposta

\displaystyle \nabla\cdot\vec F = \frac{1}{x+2y} + \cos y \displaystyle \nabla\times\vec F = \bigl(0,\,0,\,\cos x - \frac{2}{x+2y}\bigr)

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