Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
\vec{F}(x, y)=x \operatorname{sen} y \vec{i}+y \cos x \vec{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores \displaystyle \vec{F}(x,y)=x\sin y\,\vec{i}+y\cos x\,\vec{j}
e pede a divergência \nabla\cdot\vec{F} e o rotacional \nabla\times\vec{F}. Vamos usar derivadas parciais.

Passo 2

Para a divergência aplicamos
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin y\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\cos x\bigr).
Como \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x\sin y)=\sin y
e \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(y\cos x)=\cos x,
segue que \displaystyle \nabla\cdot\vec{F}=\sin y+\cos x.

Passo 3

Em duas dimensões o rotacional aparece como componente em z:
\nabla\times\vec{F} =\Bigl(0,0,\frac{\partial}{\partial x}(y\cos x) -\frac{\partial}{\partial y}(x\sin y)\Bigr).
Calculando \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(y\cos x)=-y\sin x
e \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x\sin y)=x\cos y,
obtemos \displaystyle \nabla\times\vec{F} =(-y\sin x - x\cos y)\,\vec{k}.

Resposta

\nabla\cdot\vec{F}=\sin y+\cos x \nabla\times\vec{F}=(-y\sin x - x\cos y)\,\vec{k}

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