Encontre uma expressão para o n-ésimo termo das sequências dadas.
1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência
1,\; \frac{1}{4},\; \frac{1}{9},\; \frac{1}{16},\; \ldots
e pede: encontrar uma expressão para o n-ésimo termo dessa sequência.
Vou assumir que o primeiro termo mostrado corresponde a n=1 (ou seja, a_1=1, a_2=\tfrac{1}{4}, etc.). As informações relevantes que temos são os valores dos primeiros termos indicados.

Passo 2

Observar padrões simples nos termos. Olhando apenas para os denominadores:
1,\;4,\;9,\;16,\ldots
esses números são exatamente os quadrados dos inteiros naturais:
1=1^2,\quad 4=2^2,\quad 9=3^2,\quad 16=4^2,\ldots
Isso sugere que o k-ésimo denominador é k^2. Explicando devagar: um termo de sequência é uma função da posição n; aqui a posição n parece produzir o denominador n^2.

Passo 3

Definir a notação: seja a_n o n-ésimo termo da sequência, com n\in\mathbb{N} e n\ge 1. A partir da observação do padrão dos denominadores, proponho a fórmula
a_n=\frac{1}{n^2}.
Explicando cada símbolo: a_n é o valor do termo na posição n; n é um número natural que indica a posição; o operador \frac{1}{\cdot} indica que o termo é o inverso do quadrado de n.

Passo 4

Verificação rápida por substituição nos primeiros índices para ter certeza:
a_1=\frac{1}{1^2}=\frac{1}{1}=1,
a_2=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4},
a_3=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9},
a_4=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}.
Os valores batem com os termos dados, então a fórmula é consistente com a sequência mostrada.

Passo 5

Observações úteis para a prova (dica amiga): às vezes a sequência pode ser apresentada começando em n=0. Se isso ocorrer e os termos mostrados forem os mesmos, então a fórmula ajustada seria
a_n=\frac{1}{(n+1)^2}\quad\text{(se a contagem começar em }n=0\text{)}.ç
Mas para a convenção mais comum (começando em n=1) a forma simples é \tfrac{1}{n^2}. Agora você pode aplicar essa ideia: olhar os denominadores, ver se formam uma sequência conhecida (quadrados, potências, fatoriais, etc.) e escrever o termo geral.

Resposta

a_n=\dfrac{1}{n^2},\; n\ge1

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