Encontre uma expressão para o
-ésimo termo das sequências dadas.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede: encontrar uma expressão para o -ésimo termo dessa sequência.
Vou assumir que o primeiro termo mostrado corresponde a (ou seja,
,
, etc.). As informações relevantes que temos são os valores dos primeiros termos indicados.
e pede: encontrar uma expressão para o
Vou assumir que o primeiro termo mostrado corresponde a
Passo 2
Observar padrões simples nos termos. Olhando apenas para os denominadores:
esses números são exatamente os quadrados dos inteiros naturais:
esses números são exatamente os quadrados dos inteiros naturais:
Isso sugere que o
-ésimo denominador é
. Explicando devagar: um termo de sequência é uma função da posição
; aqui a posição
parece produzir o denominador
.
Passo 3
Definir a notação: seja
o
-ésimo termo da sequência, com
e
. A partir da observação do padrão dos denominadores, proponho a fórmula
Explicando cada símbolo:
é o valor do termo na posição
;
é um número natural que indica a posição; o operador
indica que o termo é o inverso do quadrado de
.
Passo 4
Verificação rápida por substituição nos primeiros índices para ter certeza:
Os valores batem com os termos dados, então a fórmula é consistente com a sequência mostrada.
Passo 5
Observações úteis para a prova (dica amiga): às vezes a sequência pode ser apresentada começando em
. Se isso ocorrer e os termos mostrados forem os mesmos, então a fórmula ajustada seria
Mas para a convenção mais comum (começando em
) a forma simples é
. Agora você pode aplicar essa ideia: olhar os denominadores, ver se formam uma sequência conhecida (quadrados, potências, fatoriais, etc.) e escrever o termo geral.