Sólido com Seções Quadradas: Seja S um sólido cuja base é a região ilimitada no primeiro quadrante situada entre a curva y=\frac{1}{x^{2}}, o eixo x e a reta x=1. Sabendo que as seções transversais de S perpendiculares ao eixo x são quadrados, determine o volume V de S calculando a integral imprópria.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Região base: a parte do primeiro quadrante limitada pela curva y=\dfrac{1}{x^{2}}, pelo eixo x e pela reta x=1.
    Isso significa que o x varia entre 0 (não incluído) e 1 e, para cada x em (0,1], y vai de 0 até y=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • Seções transversais perpendiculares ao eixo x: são quadrados cuja diagonal ou lado? O enunciado diz apenas “quadrados”, então o lado do quadrado é o comprimento do segmento da base na direção y, isto é, o lado do quadrado para um dado x vale \dfrac{1}{x^{2}} (distância entre y=0 e y=\dfrac{1}{x^{2}}).
  • O que é pedido: determinar o volume V do sólido, calculando a integral imprópria correspondente.

Passo 2

Explicação do método que vamos usar (passo-a-passo didático e curto):
  • Quando as seções transversais de um sólido, perpendiculares ao eixo x, têm área conhecida A(x) em função de x, o volume do sólido entre x=a e x=b é dado por
V=\int_{a}^{b} A(x)\,dx.
Essa é a chamada “regra das fatias” (ou método das seções transversais): pensa-se o sólido como a soma (integral) de fatias finas de espessura dx, cada fatia com volume aproximadamente A(x)\,dx.
  • Aqui o intervalo é a=0 até b=1, mas como a região é ilimitada quando x\to0^+ (pois y=1/x^2\to\infty), teremos uma integral imprópria em x=0. A integral imprópria é definida como um limite:
\int_{0}^{1} A(x)\,dx := \lim_{t\to 0^+}\int_{t}^{1} A(x)\,dx,
desde que esse limite exista (finito). Se o limite divergir para +\infty, dizemos que o volume é infinito.

Passo 3

Determinar a área transversal A(x):
  • Para um x fixo em (0,1], o segmento vertical da base vai de y=0 até y=\dfrac{1}{x^{2}}. Portanto o lado do quadrado vale
\ell(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • A área do quadrado de lado \ell(x) é
A(x)=\bigl(\ell(x)\bigr)^{2}=\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{2}=\dfrac{1}{x^{4}}.
Portanto o volume formal é
V=\int_{0}^{1} \dfrac{1}{x^{4}}\,dx,
que é uma integral imprópria por causa da singularidade em x=0.

Passo 4

Definir a integral imprópria como limite e preparar para integrar:
V=\int_{0}^{1} x^{-4}\,dx=\lim_{t\to 0^+}\int_{t}^{1} x^{-4}\,dx.
Vamos agora calcular a antiderivada de x^{-4}. Relembre a regra de potência para primitivas:
  • Para p\neq -1,
\int x^{p}\,dx=\dfrac{x^{p+1}}{p+1}+C.
Aqui p=-4, que é diferente de -1, então a regra vale.

Passo 5

Calcular a primitiva e avaliar o limite:
  • Aplicando a regra com p=-4,
\int x^{-4}\,dx=\dfrac{x^{-3}}{-3}+C=-\dfrac{1}{3}x^{-3}+C.
  • Então, para t>0,
\int_{t}^{1} x^{-4}\,dx=\left[-\dfrac{1}{3}x^{-3}\right]_{x=t}^{x=1} = -\dfrac{1}{3}\cdot 1^{-3} -\Bigl(-\dfrac{1}{3}t^{-3}\Bigr) = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}t^{-3}.
  • Agora tomamos o limite t\to 0^+:
V=\lim_{t\to 0^+}\left(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}t^{-3}\right).
Como t^{-3}\to +\infty quando t\to 0^+, a expressão acima tende a +\infty. Portanto o limite não é finito: a integral imprópria diverge.

Passo 6

Interpretação final (didática e intuitiva):
  • A base do sólido se estende verticalmente até alturas muito grandes quando x se aproxima de 0 (pois y=1/x^{2} cresce muito). Mesmo que a largura em x seja limitada por x=1, as fatias próximas a x=0 têm área de seção A(x)=x^{-4} que cresce tão rápido que a soma (integral) dessas áreas ao longo de x\in(0,1] acumula volume infinito.
  • Conclusão: o volume do sólido não é um número finito, a integral imprópria diverge para +\infty.

Resposta

\displaystyle V=+\infty

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