Sólido com Seções Quadradas: Seja
um sólido cuja base é a região ilimitada no primeiro quadrante situada entre a curva
, o eixo
e a reta
. Sabendo que as seções transversais de
perpendiculares ao eixo
são quadrados, determine o volume
de
calculando a integral imprópria.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Região base: a parte do primeiro quadrante limitada pela curva
, pelo eixo e pela reta .
Isso significa que ovaria entre (não incluído) e e, para cada em , vai de até . - Seções transversais perpendiculares ao eixo
: são quadrados cuja diagonal ou lado? O enunciado diz apenas “quadrados”, então o lado do quadrado é o comprimento do segmento da base na direção , isto é, o lado do quadrado para um dado vale (distância entre e ). - O que é pedido: determinar o volume
do sólido, calculando a integral imprópria correspondente.
Passo 2
Explicação do método que vamos usar (passo-a-passo didático e curto):
- Quando as seções transversais de um sólido, perpendiculares ao eixo
, têm área conhecida em função de , o volume do sólido entre e é dado por
Essa é a chamada “regra das fatias” (ou método das seções transversais): pensa-se o sólido como a soma (integral) de fatias finas de espessura
, cada fatia com volume aproximadamente
.
- Aqui o intervalo é
até , mas como a região é ilimitada quando (pois ), teremos uma integral imprópria em . A integral imprópria é definida como um limite:
desde que esse limite exista (finito). Se o limite divergir para
, dizemos que o volume é infinito.
Passo 3
Determinar a área transversal
:
- Para um
fixo em , o segmento vertical da base vai de até . Portanto o lado do quadrado vale
- A área do quadrado de lado
é
Portanto o volume formal é
que é uma integral imprópria por causa da singularidade em
.
Passo 4
Definir a integral imprópria como limite e preparar para integrar:
Vamos agora calcular a antiderivada de
. Relembre a regra de potência para primitivas:
- Para
,
Aqui
, que é diferente de
, então a regra vale.
Passo 5
Calcular a primitiva e avaliar o limite:
- Aplicando a regra com
,
- Então, para
,
- Agora tomamos o limite
:
Como
quando
, a expressão acima tende a
. Portanto o limite não é finito: a integral imprópria diverge.
Passo 6
Interpretação final (didática e intuitiva):
- A base do sólido se estende verticalmente até alturas muito grandes quando
se aproxima de (pois cresce muito). Mesmo que a largura em seja limitada por , as fatias próximas a têm área de seção que cresce tão rápido que a soma (integral) dessas áreas ao longo de acumula volume infinito. - Conclusão: o volume do sólido não é um número finito, a integral imprópria diverge para
.