Determine se o campo \vec{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função potencial para o campo \vec{F}.
\vec{F}(x, y)=\left(y e^{x}+\operatorname{sen} y\right) \vec{i}+\left(e^{x}+x \cos y\right) \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo \vec F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))
com
P(x,y)=y e^{x}+\sin y, \quad Q(x,y)=e^{x}+x\cos y
é conservativo em \mathbb{R}^2 (domínio aberto e simplesmente conectado) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f(x,y) tal que
\nabla f=(P,Q).

Passo 2

Para que \vec F seja conservativo em \mathbb{R}^2 precisamos checar se
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\; \frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculando:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{x}+\sin y\bigr) =e^{x}+\cos y,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}+x\cos y\bigr) =e^{x}+\cos y.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x e o domínio é simplesmente conectado, \vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y) =\int\bigl(y e^{x}+\sin y\bigr)\,\mathrm{d}x = y e^{x}+x\sin y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{x}+x\cos y + h'(y) \;\stackrel{!}{=}\; Q(x,y)=e^{x}+x\cos y.
Logo h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante.

Resposta

Uma função potencial é
f(x,y)=y e^{x}+x\sin y + C,
com C\in\mathbb{R}.

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