Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
\vec{F}(x, y, z)=x^{2} \vec{i}+z^{2} \vec{j}+\left(x y+z^{2}\right) \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede a divergência e o rotacional do campo de vetores \vec F(x,y,z)=x^{2}\,\vec i + z^{2}\,\vec j + (x y+z^{2})\,\vec k.
Vamos usar as definições:
\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}
\nabla\times\vec F = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}

Passo 2

Para a divergência calculamos cada derivada parcial: \partial_x(x^2)=2x, \partial_y(z^2)=0 e \partial_z(xy+z^2)=2z.
\nabla\cdot\vec F = 2x + 0 + 2z = 2x + 2z

Passo 3

Para o rotacional montamos o determinante e extraímos cada componente:
componente \vec i: \partial_y(xy+z^2)-\partial_z(z^2)=x-2z,
componente \vec j: \partial_z(x^2)-\partial_x(xy+z^2)=0 - y = -y,
componente \vec k: \partial_x(z^2)-\partial_y(x^2)=0-0=0.
\nabla\times\vec F = (x-2z)\,\vec i \;-\; y\,\vec j \;+\; 0\,\vec k

Resposta

Divergência: \nabla\cdot\vec F = 2x + 2z
Rotacional: \nabla\times\vec F = (x-2z)\,\vec i - y\,\vec j

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