Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
\vec{F}(x, y, z)=\left(x-y^{2}-z^{3}\right) \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial \vec F(x,y,z) = (x - y^2 - z^3)\,\vec k. O conteúdo é o uso das definições \nabla \cdot \vec F para a divergência e \nabla \times \vec F para o rotacional, aplicando derivadas parciais dos componentes do campo.

Passo 2

Identificamos os componentes do campo:
\vec F = (F_1, F_2, F_3)
com
F_1(x,y,z)=0,\quad F_2(x,y,z)=0,\quad F_3(x,y,z)=x - y^2 - z^3.

Passo 3

A divergência é dada por
\nabla \cdot \vec F = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}.
Como
\frac{\partial F_1}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial F_2}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial F_3}{\partial z} = -3z^2,
segue
\nabla\cdot\vec F = -3z^2.

Passo 4

O rotacional é
\nabla \times \vec F = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\vec i + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\vec j + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\vec k.
Calculando cada termo:
\frac{\partial F_3}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial F_2}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial F_1}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial F_3}{\partial x}=1, \quad \frac{\partial F_2}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial F_1}{\partial y}=0.
Logo
\nabla\times \vec F = (-2y)\,\vec i + (-1)\,\vec j + 0\,\vec k.

Resposta

Divergência: \nabla\cdot\vec F = -3z^2
Rotacional: \nabla\times\vec F = -2y\,\vec i - \,\vec j

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