Determine o campo do vetor gradiente das seguintes funções:
f(x, y)=x^{2} y-y^{3}.

Passo 1

O enunciado pede o campo vetor gradiente da função \,f(x,y)=x^{2}y - y^{3}. Isso faz parte de cálculo multivariável, onde o gradiente de uma função escalar \,f(x,y) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f em relação a x e a y:
\nabla f(x,y) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f:
  1. Diferenciando em relação a x, tratamos y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y - y^{3}\bigr) = 2x\,y.
  1. Diferenciando em relação a y, tratamos x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y - y^{3}\bigr) = x^{2} - 3y^{2}.

Resposta

\nabla f(x,y) = \bigl(2xy,\;x^{2} - 3y^{2}\bigr).

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