Determine o campo do vetor gradiente das seguintes funções:
f(x, y, z)=\ln (\cos x)+y z.

Passo 1

O enunciado pede o campo do vetor gradiente da função
f(x,y,z)=\ln\bigl(\cos x\bigr)+y\,z.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais para montar \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z).

Passo 2

Calculamos \partial f/\partial x. Aplicamos a regra da cadeia em \ln(\cos x): se u=\cos x, então
\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u},
e u'=-\sin x. Logo,
\frac{\partial}{\partial x}\ln\bigl(\cos x\bigr) =\frac{-\sin x}{\cos x} =-\tan x.
O termo y\,z não depende de x, portanto sua derivada é zero.

Passo 3

Calculamos \partial f/\partial y. A única parte que depende de y é y\,z. Como z é tratado como constante,
\frac{\partial}{\partial y}(y\,z)=z.

Passo 4

Calculamos \partial f/\partial z. Agora y é constante e
\frac{\partial}{\partial z}(y\,z)=y.

Passo 5

Reunindo as derivadas parciais, obtemos
\nabla f(x,y,z) =\biggl(-\tan x,\;z,\;y\biggr).
O domínio natural dessa função (e, portanto, do seu gradiente) é \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\cos x>0\}, pois precisamos de \cos x>0 para \ln(\cos x) estar definido.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\bigl(-\tan x,\;z,\;y\bigr), \quad\text{domínio: }\cos x>0.í

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