Determine o campo do vetor gradiente das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede o campo do vetor gradiente da função
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais para montar
.
Passo 2
Calculamos
. Aplicamos a regra da cadeia em
: se
, então
e
. Logo,
O termo
não depende de
, portanto sua derivada é zero.
Passo 3
Calculamos
. A única parte que depende de
é
. Como
é tratado como constante,
Passo 4
Calculamos
. Agora
é constante e
Passo 5
Reunindo as derivadas parciais, obtemos
O domínio natural dessa função (e, portanto, do seu gradiente) é
, pois precisamos de
para
estar definido.