Determine o campo do vetor gradiente das seguintes funções:
f(x, y)=x^{a} e^{b x}, a, b \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede o campo gradiente de f(x,y)=x^{a}e^{b x}, onde a,b\in\mathbb{R}. Para isso, precisamos aplicar definição de gradiente:
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr).

Passo 2

Calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} usando a regra do produto em x^{a}e^{b x}. Tomando
u(x)=x^{a},\quad v(x)=e^{b x},
temos
u'(x)=a\,x^{a-1},\quad v'(x)=b\,e^{b x}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = a\,x^{a-1}e^{b x}+x^{a}\,b\,e^{b x} = x^{a-1}e^{b x}\bigl(a+b\,x\bigr).

Passo 3

Como f não depende de y, segue que
\frac{\partial f}{\partial y}=0.

Passo 4

Reunindo as componentes, o campo gradiente é
\nabla f(x,y) =\Bigl(x^{a-1}e^{b x}(a+b\,x),\,0\Bigr).

Resposta

\nabla f(x,y)=\bigl(x^{a-1}e^{b x}(a+b\,x),\;0\bigr).

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