Determine se F é um campo vetorial conservativo. Caso seja, determine a função f tal que \nabla f=F. F(x, y)=\left(1+2 x y \ln x, x^{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Determinar se F é um campo vetorial conservativo.
Caso seja conservativo, encontrar uma função f tal que \nabla f = F.
Informações fornecidas:
O campo é F(x,y)=\bigl(1+2x y \ln x,\; x^{2}\bigr).
As componentes são P(x,y)=1+2x y \ln x e Q(x,y)=x^{2}.
Observação importante: a presença de \ln x implica que F está definida apenas para x>0. Ou seja, o domínio natural é D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>0\}.
Passo 2
Explicando o critério que vou usar (de forma didática): para um campo vetorial em duas variáveis F=(P,Q) definido num domínio aberto e simplesmente conexo D, uma condição prática e suficiente para F ser conservativo é que as derivadas parciais mistas sejam iguais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{em todo }D.
Por que isso? Se existir uma função potencial f tal que \nabla f=(f_x,f_y)=(P,Q), então aplicando a igualdade das segundas derivadas mistas para f (teorema de Clairaut), tem-se f_{xy}=f_{yx}, o que implica P_y=Q_x. No caso de um domínio aberto e simplesmente conexo, a recíproca também vale: se P_y=Q_x em D, então existe potencial f.
Observação sobre o domínio: D=\{x>0\} é aberto e simplesmente conexo (é um semiplano sem buracos), portanto o teste das derivadas parciais é aplicável.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais envolvidas. Primeiro identifiquei P e Q (já listados). Agora computo:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1+2x y \ln x\bigr).
Aqui trate x e \ln x como constantes ao derivar em relação a y. Assim:
Essas expressões só são iguais se \ln x=1, ou seja para x=e. Mas a igualdade precisa valer para todo o domínio D para que o campo seja conservativo. Como, por exemplo, em x=1 temos
ou seja, as derivadas não coincidem em pontos do domínio. Portanto a condição \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x falha em geral.
Passo 5
Conclusão lógica: o domínio D=\{x>0\} é aberto e simplesmente conexo, e a condição necessária/suficiente \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x não é satisfeita em D. Logo F não é um campo conservativo, e não existe função potencial f tal que \nabla f=F.
Resposta
F não é conservativo.
Não existe função f tal que \nabla f=F.