Mostre que os campos vetoriais abaixo são conservativos e use essa informação para calcular a integral
sobre a curva
.
e
é a semicircunferência superior que começa no ponto
e termine em
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- Mostrar que
é conservativo. - Usar isso para calcular
, onde é a semicircunferência “superior” que começa em e termina em .
Informações importantes que o enunciado fornece (resumo):
- O campo:
. - A curva
é uma semicircunferência cujo extremo inicial é e extremo final é . (Isso identifica uma semicircunferência de diâmetro com extremos nesses pontos; o centro dessa circunferência é o ponto médio e o raio é .) - O objetivo final: encontrar o valor numérico da integral de linha
.
Passo 2
O que significa “campo conservativo” e como verificar isso na prática (aulas rápidas):
- Um campo vetorial
é conservativo em um domínio simplesmente conexo de se existe uma função potencial tal que ; isto é, - Uma condição prática e muito usada é a igualdade das derivadas cruzadas (condição de igualdade do “rotacional” em 2D): se
e têm derivadas parciais contínuas em um domínio simplesmente conexo e então é conservativo (existe tal que ).
Agora aplicar ao nosso
:
- Aqui
e . - Calcular as derivadas parciais:
- Como
e os coeficientes são polinomiais (derivadas contínuas) em todo (que é simplesmente conexo), concluímos que é conservativo em .
Comentário amigo: isso quer dizer que o trabalho
depende só dos pontos inicial e final, não do caminho entre eles — ótima notícia para a prova!
Passo 3
Encontrar a função potencial
passo a passo (método prático que sempre funciona):
- Partimos de
. Integramos em relação a tratando como constante: onde é uma “constante” de integração que pode depender só de . - Agora usamos a outra condição
. Calcule a partir da expressão encontrada: - Igualando ao
: - Integrando
em obtemos , onde é constante real (que podemos fixar como zero, já que potenciais diferindo por constante são equivalentes). - Assim uma função potencial conveniente é
- Verificação rápida (pra ficar seguro):
e . Bate certinho com .
Passo 4
Usar o Teorema Fundamental das integrais de linha para campos conservativos:
- Se
é conservativo e é qualquer curva suave que vai do ponto ao ponto , então - No nosso caso o ponto inicial
é e o ponto final é . - Calcular
nos extremos:
- Portanto
Passo 5
Cheque rápido por parametrização (verificação extra, opcional mas bom para entender):
- A semicircunferência tem centro
e raio . Uma parametrização que vai do ponto ao ponto pelo arco superior é - Calcular
dá, após simplificação (contas diretas mas um pouco extensas), exatamente , confirmando o resultado obtido por potencial. (Não é necessário fazer todo esse cálculo na prova se já se reconheceu o campo como conservativo — é justamente por isso que usamos potenciais.)