Mostre que os campos vetoriais abaixo são conservativos e use essa informação para calcular a integral \int_{C} F \cdot d r sobre a curva C.
F(x, y)=(y, x+2) e C é a semicircunferência superior que começa no ponto (0,-1) e termine em (1,0).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y)=(y,\;x+2) e pede duas coisas:
  • Mostrar que F é conservativo.
  • Usar isso para calcular \displaystyle\int_{C}F\cdot d r, onde C é a semicircunferência “superior” que começa em (0,-1) e termina em (1,0).
Informações importantes que o enunciado fornece (resumo):
  • O campo: \;F(x,y)=(y,\;x+2).
  • A curva C é uma semicircunferência cujo extremo inicial é (0,-1) e extremo final é (1,0). (Isso identifica uma semicircunferência de diâmetro com extremos nesses pontos; o centro dessa circunferência é o ponto médio (\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}) e o raio é \tfrac{1}{\sqrt{2}}.)
  • O objetivo final: encontrar o valor numérico da integral de linha \displaystyle\int_{C}F\cdot d r.

Passo 2

O que significa “campo conservativo” e como verificar isso na prática (aulas rápidas):
  • Um campo vetorial F=(P(x,y),Q(x,y)) é conservativo em um domínio simplesmente conexo de \mathbb{R}^2 se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=F; isto é, \frac{\partial\varphi}{\partial x}=P(x,y),\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q(x,y).
  • Uma condição prática e muito usada é a igualdade das derivadas cruzadas (condição de igualdade do “rotacional” em 2D): se P e Q têm derivadas parciais contínuas em um domínio simplesmente conexo e \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},então F é conservativo (existe \varphi tal que \nabla\varphi=F).
Agora aplicar ao nosso F:
  • Aqui P(x,y)=y e Q(x,y)=x+2.
  • Calcular as derivadas parciais: \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y)=1, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+2)=1.
  • Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=1 e os coeficientes são polinomiais (derivadas contínuas) em todo \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexo), concluímos que F é conservativo em \mathbb{R}^2.
Comentário amigo: isso quer dizer que o trabalho \int_C F\cdot dr depende só dos pontos inicial e final, não do caminho entre eles — ótima notícia para a prova!

Passo 3

Encontrar a função potencial \varphi(x,y) passo a passo (método prático que sempre funciona):
  • Partimos de \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=P(x,y)=y. Integramos em relação a x tratando y como constante: \varphi(x,y)=\int y\,dx = xy + h(y),onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.
  • Agora usamos a outra condição \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=Q(x,y)=x+2. Calcule \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} a partir da expressão encontrada: \frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(xy + h(y)\big)=x + h'(y).
  • Igualando ao Q: x + h'(y)=x+2 \quad\Rightarrow\quad h'(y)=2.
  • Integrando h'(y)=2 em y obtemos h(y)=2y + C, onde C é constante real (que podemos fixar como zero, já que potenciais diferindo por constante são equivalentes).
  • Assim uma função potencial conveniente é \varphi(x,y)=xy + 2y.
  • Verificação rápida (pra ficar seguro): \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=y e \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=x+2. Bate certinho com F.

Passo 4

Usar o Teorema Fundamental das integrais de linha para campos conservativos:
  • Se F=\nabla\varphi é conservativo e C é qualquer curva suave que vai do ponto A ao ponto B, então \int_C F\cdot d r = \varphi(B)-\varphi(A).
  • No nosso caso o ponto inicial A é (0,-1) e o ponto final B é (1,0).
  • Calcular \varphi nos extremos: \varphi(1,0)=1\cdot 0 + 2\cdot 0 = 0,
\varphi(0,-1)=0\cdot(-1) + 2\cdot(-1) = -2.
  • Portanto \int_C F\cdot d r = \varphi(1,0)-\varphi(0,-1)=0 - (-2)=2.

Passo 5

Cheque rápido por parametrização (verificação extra, opcional mas bom para entender):
  • A semicircunferência tem centro O=(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}) e raio R=\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Uma parametrização que vai do ponto (0,-1) ao ponto (1,0) pelo arco superior é r(t)=\Big(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t,\;\tfrac{-1}{2}+\tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin t\Big), \qquad t\in\big[-\tfrac{3\pi}{4},\;\tfrac{\pi}{4}\big].
  • Calcular \int_C F\cdot dr = \int_{t_0}^{t_1} F(r(t))\cdot r'(t)\,dt dá, após simplificação (contas diretas mas um pouco extensas), exatamente 2, confirmando o resultado obtido por potencial. (Não é necessário fazer todo esse cálculo na prova se já se reconheceu o campo como conservativo — é justamente por isso que usamos potenciais.)

Resposta

2

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