Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
F(t)=x^2 y i+5 x y^2 j

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j
com
P(x,y)=x^2y, Q(x,y)=5,x,y^2
O conteúdo aqui é teste de campo conservativo em R^2; para isso precisamos verificar se
partial Ppartial y=partial Qpartial x em todo o domínio (que é simplesmente conexo).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais mistas:
partial Ppartial y =partialpartial y(x^2y) =x^2,
partial Qpartial x =partialpartial x(5,x,y^2) =5,y^2

Passo 3

Comparemos os resultados:
partial Ppartial y=x^2, partial Qpartial x=5,y^2
Essas duas expressões não coincidem em geral, pois não vale x^2=5y^2 para todos (x,y). Logo o critério de igualdade das derivadas mistas falha.

Resposta

F não é conservativo e, portanto, não existe função potencial global para ele.

Exercícios relacionados