O volume da região limitada pelo cone z=raizx^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2=2 y com z >= 0, x >= 0 pode ser calculado usando coordenadas cilíndricas por
integral0^a integral0^b integral0^r r d z d r d theta
Então a e b são, respectivamente,
a) pi2, 2 sin theta
b) pi, 2 sin theta
c) pi, 2 cos theta
d) pi2, 2 cos theta

Passo 1

O enunciado pede o volume da região em que
  • o cone é dado por z=raizx^2+y^2,
  • o cilindro é dado por x^2+y^2=2y,
  • temos ainda z>=0 e x>=0.
Para resolver, usamos coordenadas cilíndricas (r,theta,z), em que
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
e o volume vira
integraltheta=0^aintegralr=0^b(theta)integralz=0^r r,dz,dr,dtheta
Precisamos determinar os limites 0<=theta<= a e 0<= r<= b(theta).

Passo 2

Impondo x>=0 em coordenadas cilíndricas:
rcostheta >= 0 Longrightarrow costheta>=0 Longrightarrow thetainl[-tfracpi2,tfracpi2r]
Por outro lado, o cilindro x^2+y^2=2y vira
r^2 = 2rsintheta Longrightarrow r=0ou r=2sintheta
Como r>=0, precisamos de sintheta>=0, ou seja thetain[0,pi].
Fazendo a interseção dos dois intervalos,
thetainl[-tfracpi2,tfracpi2r]cap[0,pi] =[0,tfracpi2]
Logo a = tfracpi2.

Passo 3

Dentro da região descrita pelo cilindro, r deve satisfazer
0 <= r <= 2sintheta,
pois é o interior de r=2sintheta. Assim b(theta)=2sintheta.

Resposta

a=tfracpi2, b=2sintheta.

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