1. (x+y e^y / x) d x-x e^y / x d y=0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
l(x + y e^y/xr),dx ;-; x e^y/x,dy = 0
com a condição inicial y(1)=0.
O conteúdo aqui envolve ver se a equação é exata ou se admite fator integrante, e depois obter a solução geral e impor a condição inicial.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y) = x + y e^y/x, N(x,y) = -,x e^y/x,
e testamos exatidão calculando
partial Mpartial y = e^y/x + y e^y/x,1x = e^y/xl(1 + tfracyxr),
partial Npartial x = -e^y/x - x e^y/xl(-tfracyx^2r) = -e^y/x + e^y/x,yx = e^y/xl(-1 + tfracyxr),
logo partial M/partial y neq partial N/partial x, não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x). Note que
partial M/partial y - partial N/partial xN = 2,e^y/x-,x e^y/x = -2x,
que depende só de x. Assim
mu(x) = exp!l(integral -tfrac2x,dxr) = exp(-2ln|x|) = x^-2

Passo 4

Multiplicando toda a equação por x^-2 obtemos
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0,
com
M^* = x^-1 + y,x^-2e^y/x, N^* = -,x^-1e^y/x
Verifica-se que agora partial M^*/partial y = partial N^*/partial x, ou seja, é exata.

Passo 5

Existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
Psix = M^* e Psiy = N^*. Integramos M^* em relação a x:
Psi(x,y) = integral l(x^-1 + y,x^-2e^y/xr),dx
Na primeira parte integral x^-1dx = ln|x|.
Na segunda, faça t = y/x, então dt = -,y,x^-2dx, logo
integral y,x^-2e^y/xdx = integral -,e^t,dt = -,e^t = -,e^y/x
Assim
Psi(x,y) = ln|x| ;-; e^y/x + h(y)
Derivando em y e igualando a N^* vê-se que h'(y)=0. Logo a solução implícita é
Psi(x,y) = ln|x| - e^y/x = C

Passo 6

Impondo y(1)=0 obtemos
ln1 - e^0/1 = 0 - 1 = -1 = C
Então
ln x - e^y/x = -1 Longrightarrow e^y/x = ln x + 1
Tomando logaritmo e multiplicando por x
yx = ln!l(1+ln xr) Longrightarrow y = x,ln!l(1 + ln xr)

Resposta

boxedy(x) = x,ln!l(1 + ln xr), x>e^-1

Exercícios relacionados