Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
com a condição inicial
.
O conteúdo aqui envolve ver se a equação é exata ou se admite fator integrante, e depois obter a solução geral e impor a condição inicial.
O conteúdo aqui envolve ver se a equação é exata ou se admite fator integrante, e depois obter a solução geral e impor a condição inicial.
Passo 2
Escrevemos
e testamos exatidão calculando
logo
, não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. Note que
que depende só de
. Assim
Passo 4
Multiplicando toda a equação por
obtemos
com
Verifica-se que agora
, ou seja, é exata.
Passo 5
Existe uma função potencial
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
Na primeira parte
.
Na segunda, faça , então
, logo
Na segunda, faça
Assim
Derivando em
e igualando a
vê-se que
. Logo a solução implícita é
Passo 6
Impondo
obtemos
Então
Tomando logaritmo e multiplicando por
dá