Tente explicar as seguintes propriedades da ordem dos números reais: Sejam quaisquer a, b, c in R
(i) Se 0 <= a <= b e 0 <= c <= d então a cdot c <= b cdot d.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos provar a propriedade de ordem que diz que, para quaisquer a,b,c,dinR, se
0 <= a <= b e 0 <= c <= d,
então
acdot c <= bcdot d
O conteúdo aqui é a preservação da ordem real pela multiplicação quando os fatores são não-negativos.

Passo 2

Como 0<= a<= b e c>=0, podemos multiplicar a desigualdade a<= b por c sem inverter o sentido. Logo,
a<= b e c>=0 ;implies; a,c <= b,c

Passo 3

De modo análogo, de 0<= c<= d e b>=0 segue que multiplicar c<= d por b preserva a ordem:
c<= d e b>=0 ;implies; b,c <= b,d

Passo 4

Aplicando a transitividade da relação “ <=” entre as duas desigualdades obtidas,
a,c <= b,c e b,c <= b,d ;implies; a,c <= b,d

Resposta

Da sequência de multiplicações preservando a ordem e da transitividade, concluímos que
acdot c <= bcdot d

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