Tente explicar as seguintes propriedades da ordem dos números reais: Sejam quaisquer
(i) Se
e
então
.
(i) Se
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos provar a propriedade de ordem que diz que, para quaisquer
, se
então
O conteúdo aqui é a preservação da ordem real pela multiplicação quando os fatores são não-negativos.
Passo 2
Como
e
, podemos multiplicar a desigualdade
por
sem inverter o sentido. Logo,
Passo 3
De modo análogo, de
e
segue que multiplicar
por
preserva a ordem:
Passo 4
Aplicando a transitividade da relação “
” entre as duas desigualdades obtidas,
Resposta
Da sequência de multiplicações preservando a ordem e da transitividade, concluímos que