Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=e^dotz cos x i+e^y cos z j+(e^dotz sen x-e^y sen z) k

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y,z)=e^zcos x,i+e^ycos z,j+l(e^zsin x-e^ysin zr),k
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que nabla f=F. Para isso usamos o fato de que, em um domínio simplesmente conexo como R^3, basta checar se nablatimesF=0 e depois integrar as componentes.

Passo 2

Escrevendo
P=e^zcos x, Q=e^ycos z, R=e^zsin x - e^ysin z,
calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y=0, partial Qpartial x=0
partial Ppartial z=e^zcos x, partial Rpartial x=e^zcos x
partial Qpartial z=-e^ysin z, partial Rpartial y=-e^ysin z
Como todas as componentes de nablatimesF são zero, concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Para achar f, integramos a primeira componente em x:
f(x,y,z)=integral e^zcos x,dx = e^zsin x + g(y,z)
Derivando em y e igualando a Q:
partial fpartial y=partial gpartial y=e^ycos z Longrightarrow g(y,z)=e^ycos z + h(z)

Passo 4

Agora diferenciamos em z e igualamos a R:
partial fpartial z = e^zsin x - e^ysin z + h'(z) stackrel!= e^zsin x - e^ysin z Longrightarrow h'(z)=0
Assim h é constante, que podemos tomar como zero.

Resposta

O campo F é conservativo e uma função potencial é
f(x,y,z)=e^zsin x + e^ycos z + C

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