Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial tal que
. Para isso usamos o fato de que, em um domínio simplesmente conexo como
, basta checar se
e depois integrar as componentes.
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
Passo 2
Escrevendo
calculamos as derivadas parciais:
Como todas as componentes de
são zero, concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Para achar
, integramos a primeira componente em
:
Derivando em
e igualando a
:
Passo 4
Agora diferenciamos em
e igualamos a
:
Assim
é constante, que podemos tomar como zero.
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial é