Explique o significado de “soluções linearmente independentes” e sua importância para a construção da solução geral de uma EDO homogênea de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pergunta o que significa duas soluções e de uma EDO homogênea de segunda ordem serem “linearmente independentes” e por que isso é crucial para montar a solução geral dessa EDO. Vamos revisar o conceito de combinação linear, dependência/independência e a forma da solução geral.
Passo 2
Comecemos definindo combinação linear de duas funções. Dados dois escalares e duas funções , a expressão
é chamada de combinação linear de e . Se existir um par tal que
para todo no intervalo considerado, dizemos que e são linearmente dependentes.
Passo 3
Logo, e são linearmente independentes se a única forma de anular a combinação linear for com . Em símbolos:
Uma ferramenta prática para testar independência é o Wronskiano:
Se existir um ponto x0 tal que W(y1,y2)(x0)neq0, então y1 e y2 são linearmente independentes em todo o intervalo.
Passo 4
Em teoria de EDO, o conjunto de todas as soluções de uma equação homogênea de segunda ordem forma um espaço vetorial de dimensão 2. Isso significa que qualquer solução pode ser escrita como combinação linear de duas soluções que formam uma base desse espaço. Portanto, para “cobrir” todas as soluções possíveis, precisamos exatamente de duas soluções que sejam linearmente independentes.
Passo 5
A partir daí, a solução geral da EDO homogênea de segunda ordem
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
é dada por
y(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x),
onde y1 e y2 são independentes e C1,C2 são constantes arbitrárias. Se y1 e y2 fossem dependentes, a combinação acima geraria apenas um subespaço unidimensional, perdendo soluções.
Resposta
Duas soluções y1 e y2 são linearmente independentes se não existir combinação linear não trivial que as anule, o que se verifica quando o Wronskiano é não nulo em algum ponto. Essa independência garante que elas formem uma base do espaço de soluções (dimensão 2) e, assim, a solução geral da EDO homogênea seja y=C1y1+C2y2.