Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=lang<= y z, x z+y, x y-xrang<=

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o campo vetorial
F(x, y, z)=lang<= y z,;x z+y,;x y - xrang<=
é conservativo (isto é, se existe uma função escalar f tal que F=nabla f). Como o domínio de F é todo R^3, basta usar o critério do rotor (curl) para campos em domínios simplesmente conexos.

Passo 2

Em R^3, um campo F=lang<= P,Q,Rrang<= é conservativo se, e somente se,
nablatimesF =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
for o vetor nulo.

Passo 3

Identificando P=y z, Q=x z+y e R=x y - x, calculamos:
partial Rpartial y =partial(x y - x)partial y =x, partial Qpartial z =partial(x z + y)partial z =x,
logo a primeira componente do rotor é x-x=0.
partial Ppartial z =partial(y z)partial z =y, partial Rpartial x =partial(x y - x)partial x =y-1,
logo a segunda componente é y-(y-1)=1neq0.
partial Qpartial x =partial(x z + y)partial x =z, partial Ppartial y =partial(y z)partial y =z,
logo a terceira componente é z-z=0.
Como nablatimesF=(0,1,0)neq(0,0,0), o campo não é conservativo.

Resposta

F não é conservativo.

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