Encontre os valores
que satisfaz cada uma das seguintes desigualdades:
(n)
(n)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade racional
O conteúdo é manipulação de inequações racionais, então vamos primeiro identificar o domínio (pontos que zeram denominadores) e em seguida reduzir tudo a uma única fração para aplicar o estudo de sinais.
Passo 2
Observamos que a expressão está definida se, e somente se,
isto é,
. Agora multiplicamos ambos os lados por
(positivo, logo não inverte a desigualdade) para eliminar os denominadores parciais:
que simplifica para
Passo 3
Vamos passar tudo para o mesmo membro, reduzindo a uma única fração:
Colocando no mesmo denominador
:
Passo 4
Expandimos e simplificamos o numerador:
Logo a desigualdade vira
Passo 5
Fatoramos
:
Então temos
Os pontos críticos são as raízes do numerador e do denominador:
,
(não permitido) e
.
Passo 6
Estudamos o sinal em cada intervalo determinado pelos pontos
:
- Para
: numerador , denominador , quociente . - Para
: numerador , denominador , quociente . - Para
: numerador , denominador , quociente . - Para
: numerador , denominador , quociente .
Queremos
, ou seja, quociente positivo ou zero. Zera no numerador em
e
, mas nunca em
(denom. zero).