Encontre os valores x que satisfaz cada uma das seguintes desigualdades:
(n) 6-112 xx-3 >=-12(x+12)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade racional
6 - tfrac112xx - 3 ;>=; -12(x + 12)
O conteúdo é manipulação de inequações racionais, então vamos primeiro identificar o domínio (pontos que zeram denominadores) e em seguida reduzir tudo a uma única fração para aplicar o estudo de sinais.

Passo 2

Observamos que a expressão está definida se, e somente se,
x - 3 neq 0
isto é, x neq 3. Agora multiplicamos ambos os lados por 2 (positivo, logo não inverte a desigualdade) para eliminar os denominadores parciais:
2 cdot 6 - tfrac112xx - 3 ;>=; 2 cdot l(-tfrac12(x + 12)r)
que simplifica para
12 - 11xx - 3 ;>=; -(x + 12)

Passo 3

Vamos passar tudo para o mesmo membro, reduzindo a uma única fração:
12 - 11xx - 3 + (x + 12) ;>=; 0
Colocando no mesmo denominador x-3:
12 - 11x + (x+12)(x-3)x - 3 ;>=; 0

Passo 4

Expandimos e simplificamos o numerador:
12 - 11x + (x+12)(x-3) =12 - 11x + l(x^2 + 12x -3x -36r) =x^2 -2x -24
Logo a desigualdade vira
x^2 - 2x -24x - 3 ;>=; 0

Passo 5

Fatoramos x^2 -2x -24:
x^2 -2x -24 = (x - 6)(x + 4)
Então temos
(x-6)(x+4)x-3 ;>=; 0
Os pontos críticos são as raízes do numerador e do denominador: x = -4, x = 3 (não permitido) e x = 6.

Passo 6

Estudamos o sinal em cada intervalo determinado pelos pontos -4,3,6:
  • Para x<-4: numerador (x-6)(x+4)>0, denominador x-3<0, quociente <0.
  • Para -4<x<3: numerador <0, denominador <0, quociente >0.
  • Para 3<x<6: numerador <0, denominador >0, quociente <0.
  • Para x>6: numerador >0, denominador >0, quociente >0.
Queremos >= 0, ou seja, quociente positivo ou zero. Zera no numerador em x=-4 e x=6, mas nunca em x=3 (denom. zero).

Resposta

x in [-4,,3),cup,[6,,infty)

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