Encontre os valores x que satisfaz cada uma das seguintes desigualdades:
(o) (x-3)(x+2)(2 x-5) >= 0

Passo 1

Estamos resolvendo a desigualdade
(x - 3),(x + 2),(2x - 5) >= 0
O conteúdo aqui é análise de sinais de um polinômio fatorado. Para resolver, vamos (1) encontrar as raízes de cada fator, (2) ordenar essas raízes na reta real, (3) testar o sinal em cada intervalo, e (4) montar a solução incluindo os pontos em que o produto é zero.

Passo 2

Cada fator gera uma raiz quando se anula:
x - 3 = 0 implies x = 3,
x + 2 = 0 implies x = -2,
2x - 5 = 0 implies x = tfrac52

Passo 3

Ordenando as raízes na reta real, temos
-2 < tfrac52 < 3
Isso define quatro intervalos a testar:
(-infty,-2),;(-2,tfrac52),;(tfrac52,3),;(3,infty)
Agora, escolhemos um valor em cada intervalo e avaliamos o sinal de cada fator:
  1. Em x=-3in(-infty,-2):
    (x-3)<0,;(x+2)<0,;(2x-5)<0;Rightarrow;-times-times-= -.
  2. Em x=0in(-2,tfrac52):
    (x-3)<0,;(x+2)>0,;(2x-5)<0;Rightarrow;-times+times-= +.
  3. Em x=2.6in(tfrac52,3):
    (x-3)<0,;(x+2)>0,;(2x-5)>0;Rightarrow;-times+times+= -.
  4. Em x=4in(3,infty):
    (x-3)>0,;(x+2)>0,;(2x-5)>0;Rightarrow;+ times + times += +.

Passo 4

Queremos onde o produto é não negativo, isto é, positivo ou zero. Pelos testes:
  • É negativo em (-infty,-2) e em (tfrac52,3), então esses intervalos ficam de fora.
  • É positivo em ( -2,tfrac52 ) e em (3,infty).
  • Nos pontos x=-2, x=tfrac52 e x=3 o produto é exatamente zero, e como a desigualdade é “ >=0”, incluímos essas raízes.

Resposta

x in l[-2,tfrac52r];cup;l[3,inftyr]

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