Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que \mathbf{F}=\nabla f).
\mathbf{F}(x, y, z)=x y z^{2} \mathbf{i}+x^{2} y z^{2} \mathbf{j}+x^{2} y^{2} z \mathbf{k}
\mathbf{F}(x, y, z)=x y z^{2} \mathbf{i}+x^{2} y z^{2} \mathbf{j}+x^{2} y^{2} z \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo, isto é, se existe
tal que
. Como o domínio natural do campo é
, que é simplesmente conexo, basta checar se
.
Passo 2
Calculemos as componentes do rotacional
. Primeiro escrevemos
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Logo
Passo 4
Agora
e
:
Então
que não é identicamente zero em
.
Passo 5
Para completar, calculemos
:
e assim
que também não é zero em geral.
Resposta
O rotacional
não é o vetor nulo em
, logo
não é conservativo.