Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f).
\mathbf{F}(x, y, z)=x y z^{2} \mathbf{i}+x^{2} y z^{2} \mathbf{j}+x^{2} y^{2} z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y,z) = x,y,z^2,i ;+; x^2,y,z^2,j ;+; x^2,y^2,z,k
é conservativo, isto é, se existe f(x,y,z) tal que nabla f=F. Como o domínio natural do campo é R^3, que é simplesmente conexo, basta checar se nablatimesF=0.

Passo 2

Calculemos as componentes do rotacional nablatimesF=(Ry-Qz,,Pz-Rx,,Qx-Py). Primeiro escrevemos
P(x,y,z)=x,y,z^2, Q(x,y,z)=x^2,y,z^2, R(x,y,z)=x^2,y^2,z

Passo 3

Vamos calcular Ry e Qz:
Ry=partialpartial y(x^2,y^2,z)=2,x^2,y,z, Qz=partialpartial z(x^2,y,z^2)=2,x^2,y,z
Logo
Ry-Qz=2,x^2,y,z - 2,x^2,y,z = 0

Passo 4

Agora Pz e Rx:
Pz=partialpartial z(x,y,z^2)=2,x,y,z, Rx=partialpartial x(x^2,y^2,z)=2,x,y^2,z
Então
Pz-Rx =2,x,y,z ;-; 2,x,y^2,z =2,x,y,z,(1 - y),
que não é identicamente zero em R^3.

Passo 5

Para completar, calculemos Qx-Py:
Qx=partialpartial x(x^2,y,z^2)=2,x,y,z^2, Py=partialpartial y(x,y,z^2)=x,z^2,
e assim
Qx-Py =2,x,y,z^2 - x,z^2 =x,z^2,(2,y - 1),
que também não é zero em geral.

Resposta

O rotacional nablatimesF não é o vetor nulo em R^3, logo F não é conservativo.

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