Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para verificar se é conservativo. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: em um domínio simplesmente conexo (aqui
), um campo é conservativo se e somente se seu rotacional for o vetor nulo. Caso seja conservativo, devemos encontrar
tal que
Passo 2
Calculamos o rotacional
pelas fórmulas
Aqui
,
,
.
Passo 3
Vamos checar cada componente:
Portanto
, e
é conservativo.
Passo 4
Para achar o potencial
, integramos a componente
em relação a
:
Passo 5
Agora usamos
. Da expressão acima
deve igualar
. Logo
Assim
Passo 6
Finalmente conferimos
:
deve coincidir com
. Portanto
, isto é,
é constante.
Resposta
Uma função potencial é
onde
é constante arbitrária.