Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f(x, y, z) tal que \vec{F}=\vec{\nabla} f.
\vec{F}(x, y, z)=e^{z} \cos x \mathbf{i}+e^{y} \cos z \mathbf{j}+\left(e^{z} \operatorname{sen} x-e^{y} \operatorname{sen} z\right) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=e^{z}\cos x\,\mathbf{i}+e^{y}\cos z\,\mathbf{j}+\bigl(e^{z}\sin x - e^{y}\sin z\bigr)\,\mathbf{k}
e pede para verificar se é conservativo. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: em um domínio simplesmente conexo (aqui \mathbb{R}^3), um campo é conservativo se e somente se seu rotacional for o vetor nulo. Caso seja conservativo, devemos encontrar f(x,y,z) tal que
\nabla f = \vec{F}.

Passo 2

Calculamos o rotacional \nabla\times \vec{F} pelas fórmulas
(\nabla\times \vec{F})_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},\quad (\nabla\times \vec{F})_y = \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},\quad (\nabla\times \vec{F})_z = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}.
Aqui F_x=e^{z}\cos x, F_y=e^{y}\cos z, F_z=e^{z}\sin x - e^{y}\sin z.

Passo 3

Vamos checar cada componente:
(\nabla\times \vec{F})_x = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{z}\sin x - e^{y}\sin z\bigr) - \frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{y}\cos z\bigr) = -e^{y}\sin z - (-e^{y}\sin z)=0,
(\nabla\times \vec{F})_y = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{z}\cos x\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{z}\sin x - e^{y}\sin z\bigr) = e^{z}\cos x - e^{z}\cos x=0,
(\nabla\times \vec{F})_z = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}\cos z\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{z}\cos x\bigr) = 0 - 0 = 0.
Portanto \nabla\times \vec{F}=\mathbf{0}, e \vec{F} é conservativo.

Passo 4

Para achar o potencial f, integramos a componente F_x em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{z}\cos x \quad\Longrightarrow\quad f(x,y,z)=\int e^{z}\cos x\,dx = e^{z}\sin x + C(y,z).

Passo 5

Agora usamos \partial f/\partial y. Da expressão acima
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{z}\sin x + C(y,z)\bigr) = C_{y}(y,z)
deve igualar F_y=e^{y}\cos z. Logo
C_{y}(y,z)=e^{y}\cos z \quad\Longrightarrow\quad C(y,z)=\int e^{y}\cos z\,dy = e^{y}\cos z + D(z).
Assim
f(x,y,z)=e^{z}\sin x + e^{y}\cos z + D(z).

Passo 6

Finalmente conferimos \partial f/\partial z:
\frac{\partial f}{\partial z} = e^{z}\sin x + \bigl(-e^{y}\sin z\bigr) + D'(z)
deve coincidir com F_z=e^{z}\sin x - e^{y}\sin z. Portanto D'(z)=0, isto é, D é constante.

Resposta

Uma função potencial é
\boxed{f(x,y,z)=e^{z}\sin x + e^{y}\cos z + C,}
onde C é constante arbitrária.

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