Use a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica dos
números
e prove que a sequência
é crescente. Conclua que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
é crescente para
e, a partir disso, concluir que
Vamos usar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM) aplicada a
números.
Passo 2
Sejam
. A AM–GM afirma que
Passo 3
Escolhemos
Então a média aritmética vale
Passo 4
A média geométrica desses
números é
Pela AM–GM,
Passo 5
Elevando ambos os lados à potência
, obtemos
Mas o lado esquerdo é exatamente
e o direito é
. Logo
isto é,
é crescente para
.
Passo 6
Para
, o menor valor de
inteiro é
. Como a sequência é crescente,