Use a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica dos n+1 números 1- 1 / n, \ldots, 1-1 / n, 1 e prove que a sequência (1-1 / n)^{n} é crescente. Conclua que (1-1 / n)^{n} \geqslant 1 / 4 para todo n>1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
a_n = \bigl(1 - \tfrac{1}{n}\bigr)^{n}
é crescente para n>1 e, a partir disso, concluir que
\bigl(1 - \tfrac{1}{n}\bigr)^{n}\;\ge\;\tfrac14 \quad\text{para todo }n>1.
Vamos usar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM) aplicada a n+1 números.

Passo 2

Sejam a_1,\dots,a_{n+1}>0. A AM–GM afirma que
\frac{a_1+\cdots+a_{n+1}}{n+1} \;\ge\; \bigl(a_1\,a_2\cdots a_{n+1}\bigr)^{\!1/(n+1)}.

Passo 3

Escolhemos
a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 1 - \tfrac{1}{n}, \quad a_{n+1} = 1.
Então a média aritmética vale
\frac{n\bigl(1-\tfrac1n\bigr) + 1}{n+1} = \frac{n - 1 + 1}{n+1} = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}.

Passo 4

A média geométrica desses n+1 números é
\bigl[(1-\tfrac1n)^n\cdot1\bigr]^{1/(n+1)} = \bigl(1-\tfrac1n\bigr)^{n/(n+1)}.
Pela AM–GM,
1 - \frac{1}{n+1} \;\ge\; \bigl(1-\tfrac1n\bigr)^{\tfrac{n}{\,n+1}}.

Passo 5

Elevando ambos os lados à potência n+1>0, obtemos
\bigl(1 - \tfrac{1}{n+1}\bigr)^{n+1} \;\ge\; \bigl(1-\tfrac1n\bigr)^n.
Mas o lado esquerdo é exatamente a_{n+1} e o direito é a_n. Logo
a_{n+1}\;\ge\;a_n,
isto é, \;a_n=(1-\tfrac1n)^n é crescente para n>1.

Passo 6

Para n>1, o menor valor de n inteiro é n=2. Como a sequência é crescente,
\bigl(1-\tfrac1n\bigr)^n \;\ge\; \bigl(1-\tfrac12\bigr)^2 = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^2 = \tfrac14.

Resposta

\bigl(1-\tfrac1n\bigr)^n\;\ge\;\tfrac14 \quad\text{para todo }n>1.

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