Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que \mathbf{F}=\nabla f).
\mathbf{F}(x, y, z)=e^{x} \operatorname{sen} y z \mathbf{i}+z e^{x} \cos y z \mathbf{j}+y e^{x} \cos y z \mathbf{k}
\mathbf{F}(x, y, z)=e^{x} \operatorname{sen} y z \mathbf{i}+z e^{x} \cos y z \mathbf{j}+y e^{x} \cos y z \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial tal que
. Para isso, usaremos o fato de que em
um campo com derivadas contínuas é conservativo se, e somente se, seu rotacional é zero.
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
Passo 2
Denotando
o rotacional é
Calculando cada termo verifica‐se que todos são iguais a zero, logo
portanto
é conservativo.
Passo 3
Para achar o potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função de
e
a determinar.
Passo 4
Impondo que
e
:
Logo
é constante.
Resposta
podendo tomar
para simplicidade.