Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f).
\mathbf{F}(x, y, z)=e^{x} \operatorname{sen} y z \mathbf{i}+z e^{x} \cos y z \mathbf{j}+y e^{x} \cos y z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z) = \bigl(e^{x}\sin(yz),\,z e^{x}\cos(yz),\,y e^{x}\cos(yz)\bigr)
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f. Para isso, usaremos o fato de que em \mathbb{R}^3 um campo com derivadas contínuas é conservativo se, e somente se, seu rotacional é zero.

Passo 2

Denotando
P(x,y,z)=e^{x}\sin(yz),\quad Q(x,y,z)=z e^{x}\cos(yz),\quad R(x,y,z)=y e^{x}\cos(yz),
o rotacional é
\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\tfrac{\partial R}{\partial y}-\tfrac{\partial Q}{\partial z},\; \tfrac{\partial P}{\partial z}-\tfrac{\partial R}{\partial x},\; \tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Calculando cada termo verifica‐se que todos são iguais a zero, logo
\nabla\times\mathbf{F}=(0,0,0),
portanto \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial f, integramos P em relação a x:
f(x,y,z)=\int e^{x}\sin(yz)\,dx =e^{x}\sin(yz)+g(y,z),
onde g é uma função de y e z a determinar.

Passo 4

Impondo que \partial f/\partial y=Q e \partial f/\partial z=R:
\frac{\partial f}{\partial y} =e^{x}z\cos(yz)+\frac{\partial g}{\partial y} \stackrel!=Q=z e^{x}\cos(yz) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0,
\frac{\partial f}{\partial z} =e^{x}y\cos(yz)+\frac{\partial g}{\partial z} \stackrel!=R=y e^{x}\cos(yz) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial z}=0.
Logo g é constante.

Resposta

\mathbf{F} é conservativo e uma função potencial é
f(x,y,z)=e^{x}\sin(yz)+C,
podendo tomar C=0 para simplicidade.

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