Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=e^y z i+x z e^y z j+x y e^v z k

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y,z)=l(e^yz,,x z,e^yz,,x y,e^yzr)
é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial f tal que nabla f= F.
Conteúdo: campos conservativos em R^3. Vamos usar o fato de que, em um domínio simplesmente conexo (todo R^3), F é conservativo se e só se nablatimes F=0, e em seguida integraremos suas componentes para encontrar f.

Passo 2

Calculemos o rotacional nablatimes F. Escrevendo
F1=e^yz, F2=x z,e^yz, F3=x y,e^yz,
temos
(nablatimes F)1 =partial F3partial y-partial F2partial z =partialpartial y(x y e^yz)-partialpartial z(x z e^yz) =x,e^yz+x ycdot z,e^yz-l(x,e^yz+x zcdot y,e^yzr)=0,
(nablatimes F)2 =partial F1partial z-partial F3partial x =partialpartial z(e^yz)-partialpartial x(x y e^yz) =y,e^yz-l(y e^yzr)=0,
(nablatimes F)3 =partial F2partial x-partial F1partial y =partialpartial x(x z e^yz)-partialpartial y(e^yz) =z e^yz-l(z e^yzr)=0

Passo 3

Como nablatimes F=(0,0,0) em todo R^3, o campo é conservativo.

Passo 4

Procuramos f tal que
partial fpartial x=F1=e^yz
Integrando em x,
f(x,y,z)=integral e^yz,dx = x,e^yz + g(y,z),
onde g é “constante” em relação a x. Agora impomos
partial fpartial y = x z,e^yz + partial gpartial y stackrel!=F2= x z,e^yz,
logo partial g/partial y=0 e g=g(z). Por fim,
partial fpartial z = x y,e^yz + g'(z) stackrel!=F3= x y,e^yz,
implicando g'(z)=0. Assim g é constante.

Resposta

Uma função potencial é
f(x,y,z)=x,e^yz+C,
com C constante qualquer.

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