Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial
tal que
.
Conteúdo: campos conservativos em . Vamos usar o fato de que, em um domínio simplesmente conexo (todo
),
é conservativo se e só se
, e em seguida integraremos suas componentes para encontrar
.
Conteúdo: campos conservativos em
Passo 2
Calculemos o rotacional
. Escrevendo
temos
Passo 3
Como
em todo
, o campo é conservativo.
Passo 4
Procuramos
tal que
Integrando em
,
onde
é “constante” em relação a
. Agora impomos
logo
e
. Por fim,
implicando
. Assim
é constante.
Resposta
Uma função potencial é
com
constante qualquer.