*2. Supondo que pi seja um nümero transcendente, demonstre que 2 pi ē um nümero transcendente.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede que a gente mostre: “Se pi é um número transcendental, então 2pi também é transcendental.”
Conteúdo: teoria de números algébricos e transcendentes.
O que vamos precisar:
  1. Definir número algébrico e transcendental.
  2. Saber que o conjunto dos números algébricos é um corpo (fechado em soma, produto e divisão por não‐zero).
  3. Usar que 2 é algébrico.

Passo 2

Definição de número algébrico e transcendental
– Um número x é algébrico se existe um polinômio não‐nulo com coeficientes inteiros (ou racionais) tal que
an x^n + an-1x^n-1 + cdots + a1 x + a0 = 0,, aiinZ,
– Um número é transcendental quando não é algébrico (ou seja, não satisfaz nenhum polinômio assim).

Passo 3

Propriedade de fechamento do corpo dos números algébricos
O conjunto A dos números algébricos satisfaz:
  1. Se u,vinA então u+vinA e ucdot vinA.
  2. Se vinA e vneq0, então 1/vinA.
    Em particular, quocientes de algébricos não‐nulos também são algébricos.

Passo 4

Observar que 2 é algébrico
Basta ver que 2 é raiz do polinômio x - 2 = 0, logo 2inA.

Passo 5

Prova por contradição
  1. Suponha que, ao contrário, 2pi seja algébrico, ou seja, 2piinA.
  2. Como 2inA e 2neq0, pelo fechamento em divisão temos
pi ;=;2pi2;in;A,
  1. Mas isso contraria a hipótese de que pi é transcendental (não‐algébrico).
Portanto, nossa suposição estava errada e 2pi não pode ser algébrico, isto é, 2pi é transcendental.

Resposta

2pi é um número transcendental.

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