*2. Supondo que
seja um nümero transcendente, demonstre que
ē um nümero transcendente.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede que a gente mostre: “Se
é um número transcendental, então
também é transcendental.”
Conteúdo: teoria de números algébricos e transcendentes.
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de números algébricos e transcendentes.
O que vamos precisar:
- Definir número algébrico e transcendental.
- Saber que o conjunto dos números algébricos é um corpo (fechado em soma, produto e divisão por não‐zero).
- Usar que
é algébrico.
Passo 2
Definição de número algébrico e transcendental
– Um número é algébrico se existe um polinômio não‐nulo com coeficientes inteiros (ou racionais) tal que
– Um número
– Um número é transcendental quando não é algébrico (ou seja, não satisfaz nenhum polinômio assim).
Passo 3
Propriedade de fechamento do corpo dos números algébricos
O conjunto dos números algébricos satisfaz:
O conjunto
- Se
então e . - Se
e , então .
Em particular, quocientes de algébricos não‐nulos também são algébricos.
Passo 4
Observar que
é algébrico
Basta ver que é raiz do polinômio
, logo
.
Basta ver que
Passo 5
Prova por contradição
- Suponha que, ao contrário,
seja algébrico, ou seja, . - Como
e , pelo fechamento em divisão temos
- Mas isso contraria a hipótese de que
é transcendental (não‐algébrico).
Portanto, nossa suposição estava errada e
não pode ser algébrico, isto é,
é transcendental.