Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
$4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
4y'' - 4y' - 3y = 0
O conteúdo é resolução de equações diferenciais lineares de 2º ordem pelo método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx e obtemos a equação característica
4r^2 - 4r - 3 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = (-4)^2 - 4cdot4cdot(-3) = 16 + 48 = 64
Logo as raízes são
r = 4 pm raiz642cdot4 = 4 pm 88

Passo 3

As soluções para r são
r1 = 4 + 88 = tfrac32, r2 = 4 - 88 = -tfrac12
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1e^tfrac32x + C2e^-tfrac12x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1e^tfrac32x + C2e^-tfrac12x

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