Determine se o campo vetorial dado é conservativo.Se for conservativo,determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f
\mathbf{F}(x, y, z)=y \mathbf{i}+x \mathbf{j}+\mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j} + \mathbf{k}
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f. O conteúdo envolvido é cálculo vetorial: usamos o teste de conservatividade via curl e depois integramos componentes para achar f.

Passo 2

Calculamos o curl de \mathbf{F}. Lembrando que
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\\ y&x&1 \end{vmatrix},
temos:
(\nabla\times\mathbf{F})_x =\frac{\partial}{\partial y}(1)-\frac{\partial}{\partial z}(x)=0-0=0,
(\nabla\times\mathbf{F})_y =\frac{\partial}{\partial z}(y)-\frac{\partial}{\partial x}(1)=0-0=0,
(\nabla\times\mathbf{F})_z =\frac{\partial}{\partial x}(x)-\frac{\partial}{\partial y}(y)=1-1=0.
Portanto,
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.

Passo 3

Como \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo, concluímos que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 4

Para encontrar a função potencial f(x,y,z), integramos componente a componente:
  1. Da igualdade \partial f/\partial x = y, temos
f(x,y,z)=\int y\,dx = xy + H(y,z),
onde H é função a determinar.
  1. Como \partial f/\partial y deve ser igual a x, calculamos
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy+H(y,z)\bigr) = x + \frac{\partial H}{\partial y} \stackrel{!}{=} x,
logo \partial H/\partial y=0, isto é, H=H(z).
  1. Finalmente, \partial f/\partial z deve ser 1. Como
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(xy+H(z)\bigr) = H'(z) \stackrel{!}{=}1,
segue H'(z)=1 e portanto H(z)=z+C, com C constante arbitrária.
Assim,
f(x,y,z)=xy+z+C.

Resposta

Uma função potencial é
f(x,y,z)=xy+z,
pois \nabla f=(y,\,x,\,1)=\mathbf{F}(x,y,z).

Exercícios relacionados