Determine se o campo vetorial dado é conservativo.Se for conservativo,determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f
\mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+x \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+x\,\mathbf{k}
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.

Passo 2

Em um domínio aberto e simplesmente conexo como \mathbb{R}^3, um campo \mathbf{F}=(P,Q,R) é conservativo se e somente se o seu rotacional é nulo, isto é,
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Aqui temos
P(x,y,z)=x,\quad Q(x,y,z)=y,\quad R(x,y,z)=x.

Passo 3

Vamos calcular componente a componente do rotacional:
\nabla\times \mathbf F = \Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Como
\tfrac{\partial R}{\partial y}=\tfrac{\partial x}{\partial y}=0,
\tfrac{\partial Q}{\partial z}=\tfrac{\partial y}{\partial z}=0,
\tfrac{\partial P}{\partial z}=\tfrac{\partial x}{\partial z}=0,
\tfrac{\partial R}{\partial x}=\tfrac{\partial x}{\partial x}=1,
\tfrac{\partial Q}{\partial x}=\tfrac{\partial y}{\partial x}=0 e
\tfrac{\partial P}{\partial y}=\tfrac{\partial x}{\partial y}=0, segue que
\nabla\times \mathbf F =(0-0,\;0-1,\;0-0) =(0,-1,0).

Passo 4

Como \nabla\times\mathbf F=(0,-1,0)\neq\mathbf{0}, concluímos que \mathbf F não é conservativo em \mathbb{R}^3. Logo não existe função escalar f tal que \nabla f=\mathbf F.

Resposta

O campo \mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+x\,\mathbf{k} não é conservativo, portanto não há potencial escalar f.

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