Determine se o campo vetorial dado é conservativo.Se for conservativo,determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f
\mathbf{F}(x, y, z)=y z \mathbf{i}-z^{2} \mathbf{j}+x^{2} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=yz\,\mathbf{i}-z^{2}\,\mathbf{j}+x^{2}\,\mathbf{k}
e pede para decidir se ele é conservativo.
Conteúdo: teoria de campos conservativos em \mathbb{R}^{3}.
Critério: num domínio simplesmente conexo (aqui todo \mathbb{R}^{3}), \mathbf{F} é conservativo se e só se
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.

Passo 2

Calculemos o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. Escrevemos \mathbf{F}=(P,Q,R) com
P=yz,\quad Q=-z^{2},\quad R=x^{2}.
Então
\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Calculando cada componente:
\frac{\partial R}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=-2z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=2z,
\frac{\partial P}{\partial z}=y,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=y-2x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-z.
Logo
\nabla\times\mathbf{F}=(2z,\;y-2x,\;-z)\neq(0,0,0).

Passo 3

Como o rotacional não se anula em geral e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que \mathbf{F} não é conservativo.

Resposta

\mathbf{F} não é um campo conservativo.

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