Determine se o campo vetorial dado é conservativo.Se for conservativo,determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f
\mathbf{F}(x, y, z)=z \mathbf{i}+2 y z \mathbf{j}+\left(x+y^{2}\right) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=z\,\mathbf{i}+2yz\,\mathbf{j}+(x+y^2)\,\mathbf{k}.
O conteúdo é verificar se \mathbf{F} é conservativo (isto é, se existe f tal que \nabla f=\mathbf{F}). Para isso, usaremos o critério do rotacional e, se for zero num domínio simplesmente conexo ( \mathbb{R}^3), concluiremos que \mathbf{F} é conservativo, e então encontraremos o potencial f.

Passo 2

Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F}.
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ z & 2yz & x+y^2 \end{vmatrix}.
Para cada componente:
\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)_x =\frac{\partial}{\partial y}(x+y^2)-\frac{\partial}{\partial z}(2yz) =2y-2y=0,
\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)_y =\frac{\partial}{\partial z}(z)-\frac{\partial}{\partial x}(x+y^2) =1-1=0,
\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)_z =\frac{\partial}{\partial x}(2yz)-\frac{\partial}{\partial y}(z) =0-0=0.
Logo \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.

Passo 3

Como \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em \mathbb{R}^3 (domínio simplesmente conexo), concluímos que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 4

Para achar o potencial f, integramos
\partial f/\partial x = z em relação a x:
f(x,y,z)=zx+\varphi(y,z),
onde \varphi é uma função a determinar de y e z.

Passo 5

Derivando f em relação a y,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial \varphi}{\partial y} \overset!=2yz,
pois \partial(zx)/\partial y=0. Assim
\varphi(y,z)=\int 2yz\,dy =y^2 z + h(z),
com h função de z somente.

Passo 6

Derivando agora em relação a z,
\frac{\partial f}{\partial z} =x + y^2 + h'(z) \overset!=x+y^2,
o que implica h'(z)=0. Logo h(z) é constante.

Resposta

\mathbf{F} é conservativo e uma função potencial é
f(x,y,z)=xz + y^2 z + C.

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