Determine se o campo vetorial dado é conservativo.Se for conservativo,determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f
\boldsymbol{F}(x, y, z)-\cos y \boldsymbol{i}+\operatorname{sen} x \boldsymbol{j}+\operatorname{tg} z \boldsymbol{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(-\cos y,\;\operatorname{sen} x,\;\operatorname{tg} z\bigr)
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas cruzadas num domínio simplesmente conexo onde \operatorname{tg} z seja bem definido.

Passo 2

Se \mathbf{F}=(P,Q,R) for conservativo num domínio simplesmente conexo, então devemos ter
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}, \qquad \frac{\partial P}{\partial z} \;=\;\frac{\partial R}{\partial x}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial z} \;=\;\frac{\partial R}{\partial y}.

Passo 3

Aqui P(x,y,z)=-\cos y e Q(x,y,z)=\operatorname{sen} x. Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(-\cos y) =\operatorname{sen} y,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(\operatorname{sen} x) =\cos x.
Como \operatorname{sen} y\neq\cos x em geral, falha a condição
\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. Logo o campo não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, pois \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\operatorname{sen} y\neq\cos x=\frac{\partial Q}{\partial x}.

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