Determine o campo vetorial gradiente de f
f(x, y, z)=x cos (zy).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=xcos!l(tfraczyr)
e pede o campo vetorial gradiente de f. O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas parciais em funções de três variáveis. Vamos usar a definição
nabla f(x,y,z)=l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr)

Passo 2

Para calcular partial fpartial x tratamos y e z como constantes e temos
partial fpartial x =partialpartial xl[xcos(z/y)r] =cos!l(tfraczyr)

Passo 3

Para partial fpartial y usamos regra do produto (a derivada de x é zero) e regra da cadeia sobre cos(z/y):
seja u=z/y, então cos(u)'!=-sin(u),u' e
u'=ddy!l(tfraczyr)=-zy^2
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partial fpartial y =xcdotl[-sin(u)r]cdotl(-zy^2r) =xzy^2,sin!l(tfraczyr)

Passo 4

Para partial fpartial z aplicamos regra da cadeia diretamente em cos(z/y):
partial fpartial z =xcdotl[-sin(z/y)r]cdotddz!l(tfraczyr) =xcdotl[-sin(z/y)r]cdot1y =-xy,sin!l(tfraczyr)

Passo 5

Agora reunimos as derivadas parciais no vetor gradiente:
nabla f(x,y,z) =l(cos!l(tfraczyr),;xzy^2,sin!l(tfraczyr),;-xy,sin!l(tfraczyr)r)

Resposta

nabla f(x,y,z) =l(cos!l(tfraczyr),;xzy^2,sin!l(tfraczyr),;-xy,sin!l(tfraczyr)r)

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