A região plana R é delimitada pelos eixos coordenados e pela curva y=1+cos (2 x), 0 <= x <= pi / 2. Determine:
o volume do sólido de revolução definido ao girar R em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado diz que temos a região R limitada por
  1. o eixo y=0,
  2. o eixo x=0,
  3. a curva y=1+cos(2x) para 0<= x<=pi/2,
    e queremos o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo x.
    Conteúdo: método dos discos (ou cilindros), pois cada fatia em x gera um círculo de raio igual a y.

Passo 2

Pelo método dos discos, o volume é
V = integralx=0^x=pi/2 pil[raio(x)r]^2,dx
aqui o raio é y=1+cos(2x). Assim
V = integral0^pi/2 pi,(1+cos(2x))^2,dx,

Passo 3

Expandindo o quadrado e usando a identidade cos^2u = tfrac1+cos(2u)2, obtemos
(1+cos(2x))^2 = 1 + 2cos(2x) + cos^2(2x) = 1 + 2cos(2x) + 1+cos(4x)2 = 32 + 2cos(2x) + 12cos(4x)

Passo 4

Substituindo na integral:
V = pi integral0^pi/2 l(tfrac32 + 2cos(2x) + tfrac12cos(4x)r),dx
Integramos termo a termo:
integral0^pi/2tfrac32,dx = tfrac32cdotpi2 = 3pi4,
integral0^pi/22cos(2x),dx = l[sin(2x)r]0^pi/2 = sinpi - sin0 = 0,
integral0^pi/2tfrac12cos(4x),dx = 12cdotsin(4x)4|0^pi/2 = 18l(sin(2pi)-sin0r) = 0
Logo a integral vale tfrac3pi4.

Passo 5

Multiplicando por pi, o volume é
V = pi cdot 3pi4 = 3pi^24

Resposta

V = 3pi^24

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