A região plana é delimitada pelos eixos coordenados e pela curva . Determine:
o volume do sólido de revolução definido ao girar R em torno do eixo y
Passo 1
Resumindo, a região no primeiro quadrante é delimitada por , e pela curva para . Queremos o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo . Vamos aplicar o método das cascas cilíndricas, cuja fórmula geral é
Passo 2
No nosso caso, em cada a casca tem raio e altura . Assim
Passo 3
Dividimos a integral em duas partes:
A primeira integral é direta:
Passo 4
Para a segunda integral, use integração por partes com u=x e dv=cos(2x),dx. Então du=dx e v=tfrac12sin(2x), e
integral xcos(2x),dx = x2sin(2x) - integral 12sin(2x),dx = x2sin(2x) + 14cos(2x)