A região plana R é delimitada pelos eixos coordenados e pela curva y=1+cos (2 x), 0 <= x <= pi / 2. Determine:
o volume do sólido de revolução definido ao girar R em torno do eixo y

Passo 1

Resumindo, a região R no primeiro quadrante é delimitada por x=0, y=0 e pela curva y=1+cos(2x) para 0 <= x <= pi/2. Queremos o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y. Vamos aplicar o método das cascas cilíndricas, cuja fórmula geral é
V = 2pi integrala^b (raio)(a<ura),dx

Passo 2

No nosso caso, em cada x a casca tem raio x e altura y=1+cos(2x). Assim
V = 2pi integral0^pi/2 xl(1+cos(2x)r),dx

Passo 3

Dividimos a integral em duas partes:
integral0^pi/2 xl(1+cos(2x)r),dx = integral0^pi/2 x,dx ;+; integral0^pi/2 xcos(2x),dx
A primeira integral é direta:
integral0^pi/2 x,dx = x^22|0^pi/2 = pi^28

Passo 4

Para a segunda integral, use integração por partes com u=x e dv=cos(2x),dx. Então du=dx e v=tfrac12sin(2x), e
integral xcos(2x),dx = x2sin(2x) - integral 12sin(2x),dx = x2sin(2x) + 14cos(2x)
Avaliando de 0 a pi/2:
[x2sin(2x) + 14cos(2x)]0^pi/2 = l(0 - tfrac14r);-;l(0 + tfrac14r) = -tfrac12

Passo 5

Somando as duas partes da integral:
integral0^pi/2 xl(1+cos(2x)r),dx = pi^28 ;-; 12
Multiplicando por 2pi,
V = 2pil(pi^28 - 12r) = pi^34 - pi

Resposta

V = pi^34 - pi

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