Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo e, em caso afirmativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(3 x^2-2 y^2) i+(4 x y+4) j;

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y) = (P,Q) = l(3x^2-2y^2,,4xy+4r)
e pede para verificar se ele é conservativo. Em domínios simplesmente conexos (como R^2) um campo F=(P,Q) é conservativo se, e somente se,
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=3x^2-2y^2, Q(x,y)=4xy+4
Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y =partialpartial y(3x^2-2y^2) =-4y,
partial Qpartial x =partialpartial x(4xy+4) =4y

Passo 3

Como
partial Ppartial y=-4y e partial Qpartial x=4y,
vemos que partial Ppartial yneqpartial Qpartial x para yneq0. Logo F não satisfaz a condição de conservatividade em R^2.

Resposta

F não é um campo vetorial conservativo, portanto não existe função f tal que F=nabla f.

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