Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo e, em caso afirmativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(x y cos x y+sin x y) i+(e^2+x^2 cos x y) j ;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r)
com
P(x,y)=x,ycos(xy)+sin(xy), Q(x,y)=e^2 + x^2cos(xy)
é conservativo em R^2 e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que nabla f=F.
Conteúdo: critério de igualdade das derivadas parciais partial P/partial y=partial Q/partial x em domínio simplesmente-conexo, e integração para obter f.

Passo 2

Calculamos
partial Ppartial y =partialpartial yl(xycos(xy)r) +partialpartial ysin(xy)
Como x é constante em relação a y,
partialpartial y(xycos(xy)) =xcos(xy)+xyl(-sin(xy)r),x = xcos(xy)-x^2ysin(xy),
partialpartial ysin(xy) =cos(xy),x
Somando,
partial Ppartial y =2xcos(xy)-x^2ysin(xy)
Agora
partial Qpartial x =partialpartial xl(e^2+x^2cos(xy)r) =0 + 2xcos(xy)+x^2l(-sin(xy)r)y =2xcos(xy)-x^2ysin(xy)

Passo 3

Observamos que
partial Ppartial y =partial Qpartial x
em todo R^2, que é simplesmente-conexo. Logo F é um campo conservativo.

Passo 4

Para achar a potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
integral P,dx =integrall(xycos(xy)+sin(xy)r),dx
Fazendo u=x y, du=y,dx, obtemos
integral xycos(xy),dx =1yintegral ucos u,du =1yl(usin u+cos ur) =x ysin(xy)+cos(xy)y,
integralsin(xy),dx =1yintegralsin u,du =-cos uy =-cos(xy)y
Somando e simplificando, surge
f(x,y)=xsin(xy)+h(y),
onde h é função arbitrária de y.

Passo 5

Impondo partial f/partial y=Q, temos
partial fpartial y =xcdotcos(xy),x + h'(y) =x^2cos(xy)+h'(y) stackrel!= e^2 + x^2cos(xy)
Logo h'(y)=e^2 e
h(y)=e^2y + C
Escolhendo C=0 para simplicidade,
f(x,y)=xsin(xy)+e^2y

Resposta

F é conservativo e uma potencial é
f(x,y)=xsin(xy)+e^2y,
pois nabla f=(x,ycos(xy)+sin(xy),,e^2+x^2cos(xy))=F

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