Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo e, em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
com
com
é conservativo em
e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
.
Conteúdo: critério de igualdade das derivadas parciais em domínio simplesmente-conexo, e integração para obter
.
Conteúdo: critério de igualdade das derivadas parciais
Passo 2
Calculamos
Como
é constante em relação a
,
Somando,
Agora
Passo 3
Observamos que
em todo
, que é simplesmente-conexo. Logo
é um campo conservativo.
Passo 4
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
Fazendo
,
, obtemos
Somando e simplificando, surge
onde
é função arbitrária de
.
Passo 5
Impondo
, temos
Logo
e
Escolhendo
para simplicidade,
Resposta
pois