Determine a solução de cada EDO:
(e^x cos (y)+2 cos (x)) y^prime=-3 y-e^x sen(y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
o que podemos reescrever na forma diferencial

Passo 2

Vamos chamar
M(x,y)=3y + e^xsin y, N(x,y)=e^xcos y + 2cos x Checamos a exatidão:
My=3 + e^xcos y, Nx=e^xcos y -2sin x
Como My neq Nx, não é exata e não há um fator integrante simples em x ou y só.

Passo 3

Tentamos agrupar termos para ver se aparece a derivada total de alguma função “ Psi(x,y)":
Psi(x,y)=e^xsin y + 2ycos x
Calculando
dPsidx=e^xsin y + e^xcos y,y' + 2cos x,y' -2ysin x
Reescrevendo a EDO original notamos que ela pode ser posta como
dPsidx +yl(2sin x+3r)=0,
mas esse termo extra y(2sin x+3) impede que seja diretamente uma equação linear em Psi.

Passo 4

Como não encontramos fator integrante elementar nem transformações que levem a solução explícita em funções elementares, a forma mais geral de escrever a solução é por quadratura implícita. Por exemplo, isolando x em função de y temos
x + integral e^xcos y +2cos x3y + e^xsin y,dy = C,
o que define a solução geral de forma implícita.

Passo 5

Verificamos que existe também a solução trivial constante
y(x)equiv 0,
que satisfaz imediatamente a EDO. Não há outras soluções constantes.

Passo 6

Resumindo, não há expressão fechada em termos de funções elementares, e a solução geral fica dada implicitamente pela quadratura acima, além da solução trivial y=0.

Resposta

Solução geral implícita:
x + integral e^xcos y +2cos x3y + e^xsin y,dy = C,
além da solução trivial y(x)equiv0.

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