Determine o campo vetorial gradiente de f.
f(x, y)=x^a e^-beta x

Passo 1

O enunciado pede o campo vetorial gradiente de fcolonR^2toR definido por
f(x,y)=x^ae^-beta x,
onde a e beta são constantes. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y e montar
nabla f = l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)

Passo 2

Calcule partial fpartial x usando a regra do produto e a derivada de e^-beta x:
partial fpartial x =partialpartial xl(x^ar),e^-beta x +x^a,partialpartial xl(e^-beta xr) =a,x^a-1e^-beta x+x^al(-beta e^-beta xr)
Fatorando x^a-1e^-beta x, obtemos
partial fpartial x =x^a-1e^-beta x,(a-beta x)

Passo 3

Como f não depende de y, temos
partial fpartial y=0
Portanto o gradiente é
nabla f(x,y) =l(x^a-1e^-beta x(a-beta x),,0r)

Resposta

nabla f(x,y) =l(x^a-1e^-beta x(a-beta x),,0r)

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