O tempo que um cliente passa sendo atendido em um caixa automático segue uma distribuição exponencial com taxa lambda=3 clientes por minuto. Calcule:
a) A probabilidade de o atendimento de um cliente demorar menos de 30 segundos.
b) A probabilidade de o atendimento de um cliente demorar mais de 2 minutos.
c) A média e o desvio padrão do tempo de atendimento.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de atendimento em um caixa automático segue uma distribuição exponencial com taxa lambda = 3 clientes por minuto. O conteúdo aqui é distribuição exponencial: vamos precisar da função de distribuição acumulada (CDF) e das fórmulas de média e desvio padrão dessa distribuição.

Passo 2

Para a letra (a), queremos a probabilidade de o atendimento durar menos de 30 segundos, isto é, t = 0,5 minutos. A teoria diz que a função de distribuição acumulada é:

Passo 3

F(t) = 1 - e^-lambda t

Passo 4

Substituindo lambda = 3 e t = 0,5:

Passo 5

P(T < 0,5) = 1 - e^-3 cdot 0,5 = 1 - e^-1,5 approx 0,7769

Passo 6

Para a letra (b), queremos a probabilidade de o atendimento durar mais de 2 minutos. A gente usa a cauda da exponencial:

Passo 7

P(T > t) = e^-lambda t

Passo 8

Substituindo t = 2:

Passo 9

P(T > 2) = e^-3 cdot 2 = e^-6 approx 0,00248

Passo 10

Para a letra (c), lembramos que, na distribuição exponencial, a média e o desvio padrão são dados por 1/ lambda. Substituindo lambda = 3:

Passo 11

E[T] = 1lambda = 13 approx 0,333 min

Passo 12

sigmaT = 1lambda = 13 approx 0,333 min

Passo 13

Se preferir em segundos, 0,333 min equivalem a aproximadamente 20 segundos.

Resposta

a) P(T<0,5)=1-e^-1,5approx0,7769
b) P(T>2)=e^-6approx0,00248
c) Média: E[T]=1/3 minapprox0,333 min (20 s); Desvio padrão: sigmaT=1/3 minapprox0,333 min (20 s).

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