- A energía da interação spin-órbita em um átomo de hidrogênio pode ser tratada como uma perturbação, a qual é proporcional a
, (a) Mostre que nesse caso, nem
nem
são constantes do movímento. (b) Mostre que
é uma constante do movimento.
Passo 1
Resumo do enunciado e do que precisamos: temos o átomo de hidrogênio com Hamiltoniano perturbado por spin-órbita, cuja parte perturbativa é dada por H_{SO}∝
. A matéria aqui é Mecânica Quântica (teoria de perturbações e operadores), e vamos usar a condição de constante de movimento (comutador com H igual a zero) e as relações de comutação dos operadores angulares.
Passo 2
Em Mecânica Quântica, um operador
é constante de movimento se
. Vamos calcular o comutador entre a parte spin-órbita e o operador orbital
. Escrevendo
, temos
Usando que
(espaços diferentes) e
, obtemos
que é, em geral, não nulo. Logo,
(e portanto
) não comuta com o Hamiltoniano total e não é constante de movimento.
Passo 3
De modo análogo, calculamos o comutador com a parte de spin
:
pelo fato de
e usando
, chega-se a
que também é não nulo. Assim,
também não é constante de movimento.
Passo 4
Agora definimos
. O comutador com
é
porque
. Além disso, o Hamiltoniano não perturbado
de Coulomb é central e independe de spin, logo
e
. Concluímos que
portanto
é constante de movimento.