1. A energía da interação spin-órbita em um átomo de hidrogênio pode ser tratada como uma perturbação, a qual é proporcional a L cdot S, (a) Mostre que nesse caso, nem L nem S são constantes do movímento. (b) Mostre que L+S=J é uma constante do movimento.

Passo 1

Resumo do enunciado e do que precisamos: temos o átomo de hidrogênio com Hamiltoniano perturbado por spin-órbita, cuja parte perturbativa é dada por H_{SO}∝ vec L cdot vec S. A matéria aqui é Mecânica Quântica (teoria de perturbações e operadores), e vamos usar a condição de constante de movimento (comutador com H igual a zero) e as relações de comutação dos operado­res angulares.

Passo 2

Em Mecânica Quântica, um operador A é constante de movimento se [H,A]=0. Vamos calcular o comutador entre a parte spin-órbita e o operador orbital Lj. Escrevendo HSO=xi(r),vec Lcdotvec S, temos
[HSO,Lj]=xi(r),[vec Lcdotvec S,,Lj]=xi(r)sumi[LiSi,Lj]
Usando que [Si,Lj]=0 (espaços diferentes) e [Li,Lj]=ihbar,varepsilonijkLk, obtemos
[HSO,Lj]=xi(r)sumi[Li,Lj]Si=ihbar,xi(r)sumi,kvarepsilonijkLkSi=ihbar,xi(r),(Stimes L)j
que é, em geral, não nulo. Logo, Lj (e portanto vec L) não comuta com o Hamiltoniano total e não é constante de movimento.

Passo 3

De modo análogo, calculamos o comutador com a parte de spin Sj:
[HSO,Sj]=xi(r)sumi[LiSi,Sj]=xi(r)sumiLi[Si,Sj]
pelo fato de [Li,Sj]=0 e usando [Si,Sj]=ihbar,varepsilonijkSk, chega-se a
[HSO,Sj]=ihbar,xi(r)sumi,kvarepsilonijkLiSk=ihbar,xi(r),(Ltimes S)j
que também é não nulo. Assim, vec S também não é constante de movimento.

Passo 4

Agora definimos vec J=vec L+vec S. O comutador com HSO é
[HSO,Jj]=[HSO,Lj]+[HSO,Sj]=ihbar,xi(r)l((Stimes L)j+(Ltimes S)jr)=0
porque Stimes L=-(Ltimes S). Além disso, o Hamiltoniano não perturbado H0 de Coulomb é central e independe de spin, logo [H0,Lj]=0 e [H0,Sj]=0. Concluímos que
[H,Lj+Sj]=[H0+HSO,Jj]=0
portanto vec J é constante de movimento.

Resposta

vec L e vec S não são constantes de movimento (seus comutadores com o Hamiltoniano não são zero), mas vec J=vec L+vec S comuta com o Hamiltoniano total e, portanto, é constante de movimento.

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