Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
F(x, y, z)=lang<= e^x, e^x, e^x xrang<=

Passo 1

O enunciado pede o rotacional e o divergente do campo vetorial F(x,y,z)=lang<= e^x,,e^x,,e^x^2rang<=. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: usaremos as definições de rotacional nablatimesF e divergente nablacdotF.

Passo 2

Para o rotacional, aplicamos
nablatimesF =(partialy Fz-partialz Fy),i +(partialz Fx-partialx Fz),j +(partialx Fy-partialy Fx),k
Aqui Fx=e^x, Fy=e^x, Fz=e^x^2. Então
partialyFz=0, partialzFy=0 Rightarrow componente i=0;
partialzFx=0, partialxFz=2x,e^x^2 Rightarrow componente j=-2x,e^x^2;
partialxFy=e^x, partialyFx=0 Rightarrow componente k=e^x.
Logo
nablatimesF=lang<= 0,,-2x,e^x^2,,e^xrang<=

Passo 3

Para o divergente, usamos
nablacdotF =partialxFx+partialyFy+partialzFz
Como partialx e^x=e^x, partialy e^x=0 e partialz e^x^2=0, obtemos
nablacdotF=e^x + 0 + 0 = e^x

Resposta

(a) nablatimesF=lang<= 0,,-2x,e^x^2,,e^xrang<=
(b) nablacdotF=e^x

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